Статья: Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

с проектором

Минимум (9) ищется по всевозможным допустимым матрицам P.

Оценка максимального правдоподобия для одного волнового вектора приведена в []. Выражение (8) является обобщением оценки максимального правдоподобия волновых векторов D-источников излучения.

3. Оптимизация систем дипольных решеток

Будем оптимизировать СДР путем варьирования параметров порождающих векторов, полагая при этом, что длины их равны, тогда без ограничения общности их можно считать единичными. Таким образом, - для плоской решетки и - для объемной решетки.

Известно, что матрица ковариаций МНК-оценки волнового вектора есть . В качестве числового значения качества оценки можно выбрать любую матричную норму . След симметрической положительно определенной матрицы удовлетворяет всем аксиомам матричной нормы, поэтому в качестве целевой функции выберем . Целевую функцию для плоской решетки обозначим f, а для объемной - g. Имеем:

где M1, M2, M3 - главные миноры матрицы .

Далее будем использовать свойства целевых функций:

: f, g - инвариантны относительно вращений в пространстве строк H.

: f - симметрическая функция своих аргументов (перестановка и не меняет значения функции).

: g - симметрическая функция пар аргументов (перестановка и не меняет значения функции).

: f, g - периодичны по каждому аргументу.

Используя первое свойство, можно понизить число неизвестных параметров в случае плоской СДР-единицу (положив ) и для объемной СДР на три (). Второе и третье утверждения позволяют сузить область поиска минимума, а также при известном решении получать симметричные ему.

Вместо минимизации функции f удобнее искать максимумы:

Получим явные выражения для f, градиента и матрицы Гессе .

Находя частные производные по , получим

Матрица Гессе, элементы которой имеют вид:

Рассмотрим СДР с минимально возможным количеством дипольных подрешеток (для плоской СДР L=3, для объемной - L=4).

Для случая L=3 (плоская СДР) положим . Линии равного уровня f изображены на рис. 1. Используя (13), запишем систему уравнений в виде

Из всех решений системы

Рис. 1 Целевая функция f (L=3) в квадрате

существует одно нетривиальное решение: , , , остальные получаются применением свойств , , .

Проверим, что в данной точке .