Статья: Пространство без бесконечности
Эти локальные примеры были приведены лишь для того, чтобы получить способ отображения такого пространства в декартовой системе координат, который позволит определить способ счёта идеально-определённого пространства – пространства, не содержащего знака ∞, в глобальном понимании.
Перейдём к способу отображения идеально-определённого пространства в декартовой системе координат.
Вернёмся к одномерному пространству.
Как можно отобразить окружность на прямой?
На окружности отметим любую точку и примем её за начало отсчёта, обозначив точно также, как и на прямой – О (с нулевым значением). От точки О отмеряем половину окружности в любую сторону и эту отметку обозначаем точкой М (то есть ОМ – половина окружности в любую сторону). От точки О в одну сторону со знаком (+), в другую со знаком минус (-), точно с такими же одинаковыми интервалами по длине как и на прямой делаем разметку. При этом точка М получает два значения +m и –m.
Такая разметка определяет и способ счёта одномерного идеально-определённого пространства (не содержащего ∞).
Чтобы отобразить окружность на прямой, разорвём окружность в точке М и, совместив точки О окружности и прямой, развернём полуокружности ОМ на прямую. Получим отрезок прямой [-m,+m], который и отобразит окружность на прямой и определит способ счёта одномерного идеально-определённого пространства на прямой.
То есть при движении по окружности от точки О в плюсовую сторону мы достигнем точки М со значением +m, которая на прямой будет иметь одновременно значение –m, и при дальнейшем движении уйдём в отрицательную область отрезка [-m,+m], а при дальнейшем движении вернёмся в точку О на прямой.
Отображение окружности на прямой носит достаточно простой характер – без искажений. Единственным усложнением является раздвоение значения точки М, что, собственно, особенно и не мешает жить.
Интересней получается при отображении сферы на плоскость.
Давайте вспомним уроки географии.
Есть глобус, сферическая поверхность которого отображает земную поверхность без особых искажений.
Есть так называемые карты мира – отображение сферической поверхности на плоскости. Мне вспоминаются по урокам географии два основных способа отображения: первый способ – два полушария в виде двух кругов, второй способ – что-то вроде эллипса, на котором «забабахана» сразу вся сферическая поверхность.
В ЦУПе на прямоугольном экране изображена вся поверхность Земли примерно по второму способу, при этом окружность (орбита спутника) отображается в виде какой-то зигзаги.
Понятно, отобразить сферу на плоскости без каких-либо искажений не удаётся.
Мы выбираем такой способ отображения сферы на плоскость, который даёт нам ключ к способу счёта идеально-определённого пространства.
Для наглядности за начало координат выберем Северный полюс.
По нулевому меридиану начнём движение от Северного полюса к Южному.
Отобразим это движение на плоскости.
Получим отрезок прямой, соединяющий Северный полюс с Южным.
Вернёмся на Северный полюс.
На этот раз начнём движение в противоположную сторону по меридиану (уже 180-му) к Южному полюсу.
Получим отображение этого меридиана на плоскости в виде отрезка, соединяющего Северный полюс с Южным в противоположную сторону. Южный полюс при этом «раздвоится». По сути, мы отобразили окружность на прямую.
Далее тем, у кого не хватает воображения, рекомендуется взять в руки карандаш и листок бумаги.
Если мы точно таким же образом пройдём по всем возможным меридианам, то Южный полюс отобразится у нас на плоскости в виде окружности с центром – Северным полюсом и радиусом равным длине меридиана.
Точка Южный полюс на сфере отобразится в виде окружности на плоскости.
Северный полюс взят за начало координат лишь для наглядности.
Понятно, что за начало координат на сфере может быть взята любая точка.
Продольных искажений (вдоль меридианов) при таком отображении быть не может (как при отображении окружности на прямую), а вот широты будут выглядеть как концентрические окружности, длины которых увеличиваются по мере удаления от Северного полюса.