Статья: Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n

Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей n .

Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.

Ферма (потом Эйлер) доказывали эту теорему для частного случая n = 4 способом бесконечного спуска с помощью формул древних индусов: x = a - b , y =2 ab , z = a + b .

Другие формулы: x = + b , y = + a , z = + a + b (1).

В (1) a и b любые взаимно простые положительные целые числа, одно из них – чётное, другое – нечётное. Пусть a – чётное, b – нечётное: a =2 c , b = d , откуда =2 cd .

После подстановки значений a и b в (1) получим:

X = d(2c+d); Y= 2c(c+d); Z= 2c(c+d)+ d (2),

где c и d любые целые положительные числа; c ,d и их суммы взаимно просты;

X , Y , Z – взаимно простые тройки решений уравнения Пифагора. Если определены и целы c и d , то определены и целы все три числа X , Y , Z .

Предположим, что уравнение Ферма x + y = z имеет тройку целых положительных решений x , y , z при нечётном целом положительном значении показателя n , n >2 . Запишем это уравнение следующим образом:

( x ) + ( y ) = ( z ) (4).

Так как рассматривается возможность существования целых решений уравнений Ферма и (4) , то должно выполняться следующее условие:

x = X ; y = Y ; z = Z ; где X , Y , Z из (2) (5).

Чтобы числа x , y , z были целыми, из всех трёх чисел X , Y , Z должны извлекаться целочисленные корни степени n (n – нечётное положительное целое число):

x == ( ); y == ( ) ; z =.

Для упрощения достаточно рассмотреть два целых числа и ( n – нечётное ):

= = и = = .

Подкоренные выражения содержат сомножители не имеющие общих делителей, кроме 1, поэтому каждый сомножитель должен являться целым числом в степени n :

d = g ; 2 c = h , следовательно, = ; = .

Так как x , – целые, x – по условию, а – из-за нечётн. n , то g + h = k , где k – целое.

Тройка решений g , h , k удовлетворяет уравнению Ферма, но все три числа меньше числа x первой тройки решений, потому что наибольшее число k из g , h , k меньше , так как =g , а < x , так как x =( ) . Число k заведомо меньше числа z .

Повторим те же рассуждения для второй тройки решений g , h , k , начиная с (4):

( g ) + ( h ) = ( k ) ; g ==( ); h ==( ); k =.

= = и = = .

d = p ; 2 c = q , следовательно, = ; = .

p + q = r , где r – целое число. Все три числа p , q , r меньше числа из второй тройки решений и r < k . Таким же образом получается 4-я тройка решений, 5-я и т.д. до .

При данных конечных целых положительных числах x , y , z не может существовать бес-конечной последовательности уменьшающихся целых положительных троек решений. Ряд натуральных чисел конечен. Отсюда целых положительных троек решений для целых положительных нечётных (и всех простых) значений показателя n ( n >2) не существует.

Для чётных n =2 m не кратных 4 : (x )+(y )=(z ), m – нечётное. Если нет целых троек решений для показателя m , то их нет и для 2 m (это показал Эйлер). Для n =4 и n =4 k ( k =1,2,3…) уже доказано, что целых положительных троек решений не существует.

А. Ф. Горбатов