Статья: Теорема Геделя о неполноте

1.5. Непротиворечивость

Было бы вполне естественно потребовать, что только "истинные утверждения", то есть только слова из Т, могут быть доказаны. Мы будем говорить, что дедуктивная система <Р, Р, ?> является непротиворечивой относительно фундаментальной пары , если ?(Р)?Т. Во всех последующих рассуждениях нас будут интересовать только такие непротиворечивые дедуктивные системы. Если же нам задан язык, то было бы чрезвычайно соблазнительно найти такую непротиворечивую дедуктивную систему, в которой каждое истинное утверждение имело бы доказательство. Интересующий нас вариант теоремы Геделя в точности утверждает, что при определенных условиях относительно фундаментальной пары, невозможно найти такую дедуктивную систему.

1.6. Полнота

Говорится, что дедуктивная система <Р,Р,?> полна относительно фундаментальной пары , при условии если ?(Р)?Т. Тогда наша формулировка теоремы о неполноте приобретает следующий вид:

При определенных условиях относительно фундаментальной пары , не существует такой дедуктивной системы <Р,Р,?> над L, которая была бы одновременно полна и непротиворечива относительно .