Первоначально эта фамилия — родительный падеж прилагательного множественного числа: чей ребенок? — Савиных. А фамилия Савины — от старинных мужских имен Савва, Савватий. Форма фамилий с -их (-ых) характерна для русского Севера и центрально-черноземных областей, с этих территорий она попала в Сибирь.