От Будая Кучукова, взятого в 1510 году в плен под Оршей, перешедшего на русскую службу, т.к. позднее, но в том же XVI веке, известен Василий Будаев Кучук (Веселовский 1974, с. 175). Фамилия, может быть, от тюркского кучюк "младший", а имя от казанско-татарского бодай "зерно".