2. Докажите, что выражение 3 * (x^2/y^2 + y^2/x^2 ) - 8 * ( x/y+ y/x)+10 неотрицательно при любых действительных x и y,

№2 Замена: х/у+у/х=в, тогда (х/у+у/х) ^2=в^2, т. е (х/у) ^2+ 2(х/у) (у/х) +(у/х) ^2=в^2, (х/у) ^2+ 2+(у/х) ^2=в^2, (х/у) ^2+(у/х) ^2=в^2-2. Получаем 3в^2-8в+10. Посмотрим, когда это выражение может быть отрицательным, т. е. 3в^2-8в+10<0, получаем при 2/3<в<2. Делаем обратную замену 2/3<х/у+у/х<2. Из условия 2/3<х/у+у/х следует, что х и у - одинаковые по знаку, тогда условие х/у+у/х<2 невыполнимо, т. к. сумма двух взаимно обратных положительных чисел >или=2. Поэтому наше предположение о том, что выражение может быть отрицательным, неверно. Остается, что исходное >или=0,что и требовалось доказать.