5. Известно, что и сумма и произведение двух натуральных чисел a и b — квадраты натуральных чисел. Докажите, что число |16a-9b| — не простое.

Пусть в силу условия [latex]a+b=x^2[/latex] (1) [latex]ab=y^2[/latex] (2) где х, y - некоторые натуральные числа Предположим что [latex]b \geq a[/latex] тогда из второго соотношения (2) следует что [latex]b=ak^2[/latex] где k - некоторое натуральное число откуда [latex]|16a-9b|=|16a-9ak^2|=|a(16-9k^2)|=\\\\|a||16-9k^2|=a|16-9k^2|[/latex] а значит число |16a-9b| сложное если [latex]|16-9k^2| \neq 1[/latex] и [latex]a \neq 1[/latex] Рассмотрим варианты 1) [latex]a=1[/latex] [latex]b+1=x^2[/latex] [latex]b=y^2[/latex] что невозможно - два последовательных натуральных числа не могут быть квадратами натуральных чисел (доказательство єтого факта [latex](b+1)-b=x^2-y^2[/latex] [latex]1=(x-y)(x+y)[/latex] [latex]1=x-y[/latex] [latex]1=x+y[/latex] =>x=1; y=0 ) 2) [latex]16-9k^2=1[/latex] [latex]15=9k^2[/latex] [latex]5=3k^2[/latex] => k - ненатуральное -- невозможно 3) [latex]16-9k^2=-1[/latex] [latex]17=9k^2[/latex] => k - ненатуральное - невозможно тем самым окончательно доказали,что исходное утверждение верно. Случай когда [latex]a