Докажите равенство: 2 sin 1° · 2 sin 2° · 2 sin 3° · . . . · 2 sin 179° = 180.

Вот что удалось получить [latex]2sin 1*2sin 2*2sin 3*...*2sin 177*2sin 178*2sin 179 =[/latex] [latex]= (2sin 1*2sin 179)*...*(2sin 89*2sin 91)*2sin 90 = A[/latex] Всего получилось 89 пар и еще 2sin 90 = 2*1 = 2. В каждой скобке раскрываем произведение по формуле: sin(180 - a) = sin a [latex]2sin1*2sin179=4sin1*sin(180-1)=4sin1*sin1=4sin^2(1)[/latex] Аналогично и остальные A = 4sin^2(1)*4sin^2(2)*...*4sin^2(89)*2= = 16(sin 1*sin 89)^2*16(sin 2*sin 88)^2*...*16(sin 44*sin 46)*4sin^2(45)*2 = A Всего получилось 44 пары и 4sin^2(45) = 4*(1/√2)^2 = 4*1/2 = 2 В каждой скобке раскрываем произведение по формуле sin(90 - a) = cos a [latex]16(sin 1*sin89)^2=4*4(sin1*cos1)^2=4(2sin1*cos1)^2=4sin^2(2)[/latex] Аналогично и остальные A = 4sin^2(2)*4sin^2(4)*...*4sin^2(88)*4 =  =16(sin 2*sin 88)^2*16(sin 4*sin 86)^2*...*16(sin 44*sin 46)^2*4 = A Получилось 22 пары и число 4. Каждую скобку раскрываем по той же формуле [latex]16(sin 2*sin88)^2=4*4(sin2*cos2)^2=4(2sin2*cos2)^2=4sin^2(4)[/latex] Аналогично и остальные A = 4sin^2(4)*4sin^2(8)*4sin^2(12)*4sin^2(16)*4sin^2(20)*4sin^2(24)*4sin^2(28)* *4sin^2(32)*4sin^2(36)*4sin^2(40)*4sin^2(44)*4sin^2(48)*4sin^2(52)*4sin^2(56)* *4sin^2(60)*4sin^2(64)*4sin^2(68)*4sin^2(72)*4sin^2(76)*4sin^2(80)*4sin^2(84)* *4sin^2(88)*4 = ? Что дальше делать, совершенно непонятно. Если складывать опять от краев к центру, то получится 4sin^2(4)*4sin^2(88) = 16(sin 4*sin 88)^2 = 16*[1/2(cos(88-4)-cos(88+4))]^2 = = 16*1/4*(cos 84 - cos 92)^2 = 4(cos 84 - cos 92)^2 Но ничего хорошего из этого не получается.