Докажите, что биссектрисы двух противоположных углов четырехугольника пересекаются на его диагонали.

Пусть в четырёхугольнике ABCD со сторонами 8, 6, 9, 12 диагональ AC и биссектриса угла B пересекаются в точке O. Тогда по свойству биссектрисы треугольника (ABC) AO:OC=AB:BC=8:6=4:3. Проведём DO, тогда в треугольнике ACD выполняется AD:CD=12:9=4:3=AO:OC, значит DO - биссектриса угла D. Т. о. биссектрисы углов B и D пересекаются в точке O принадлежащей диагонали AC. Что и требовалось доказать.