Докажите, что есть степень числа 29, оканчивающаяся цифрами 00001.

Рассмотрим числа 29⁰ (=1), 29¹, 29², 29³, …, 29¹⁰⁰⁰⁰⁰ — всего 100001 штука. Посчитаем их остатки от деления на 100000. Возможных остатков 100000: от 0 до 99999. Значит, какие то два числа из рассмотренных дают одинаковые остатки, пусть это 29ⁱ и 29ʲ (i > j). Их разность делится на 100000: 29ⁱ − 29ʲ = 29ʲ(29ⁱ⁻ʲ − 1) ⁝ 100000. Число 29ʲ на 100000 не делится. Значит, делится 29ⁱ⁻ʲ − 1, то есть 29ⁱ⁻ʲ = 100000n + 1 = …00001.