Докажите что в куб можно вписать сферу.

Рассмотрим ближнюю грань куба. Это квадрат => существует центр вписанной окружности. Обозначим его О1. Аналогично обозначим О2(на дальней грани) , О3(на верхней) , О4(на нижней) , О5(на левой) , О6(на правой) . Проведем сечение куба плоскостью О1О2О3 - квадрат, стороны которого содержат точки О1, О2, О3, О4 (поскольку сечение равноудалено от левой и правой граней куба, как и указанные точки) . Также сечение параллельно левой и правой граням куба и перпендикулярно остальным граням. Отметим точку О - она является серединой отрезка О3О4 => эта точка - центр окружности, вписанной в квадрат, поченный сечением => |ОО1| = |OO2| = |OO3| = |OO4| = R1. Эти расстояния - расстояния от точки О до соответствующих граней (за счет перпендикулярности сечения соответствующим граням) . Проводим второе сечение плоскостью О3О4О5. Аналогичон рассуждая, получим: |OO3| = |OO4| = |OO5| = |OO6| = R2. Или, поскольку |OO3| = R1 = R2: |ОО1| = |OO2| = |OO3| = |OO4| = |OO5| = |OO6| = R1. Точка О - равноудалена от всех граней куба.

дак по теореме.. я помню, мы в школе доказывали, если учебник есть, там все расписано)))