Геометрия на плоскости

Достраиваем треугольник ABC до параллелограмма ABFC, продлив медиану AD за точку D на её длину. Площадь ABFC равна 2S, поскольку треугольники ABC и FCB равны. Площадь треугольника FEC равна ½ EC · h = ¼ AC · h = ½ S, где h — длины высоты треугольника ABC, опущенной из B. Поэтому площадь четырёхугольника ABFE равна S(ABFE) = S(ABFC) – S(FEC) = 2S – ½S = ³⁄₂S. С другой стороны, её можно найти как половину произведения диагоналей этого четырёхугольника на синус угла между ними: S(ABFE) = ½ AF · BE sin α = AD · BE sin α = = BE · a sin α. Следовательно, BE · a sin α = ³⁄₂S, откуда получаем ответ: BE = 3S/(2a sin α). ====== ДРУГОЙ СПОСОБ ====== Пусть G — точка пересечения медиан AD и BE. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершин треугольника, поэтому AG = ⅔ AD, BG = ⅔ BE. Площадь треугольника ABG равна ⅓S, поскольку его высота, опущенная из G на AB, в 3 раза меньше высоты треугольника ABC, опущенной из C на AB, а сторона AB общая. Итак, ⅓S = S(ABG) = ½ AG · BG sin α = = ½ · ⅔ a · ⅔ BE sin α. Из этого равенства получается тот же ответ.