Имеются 100 бесконечных геометрических прогрессий ,каждая из которых состоит из натуральных чисел.всегда ли можно указать натуральное число , которое не содержится ни в одном из этих прогрессий?

Да конечно. Первый элемент каждой такой прогрессии должен быть рациональным числом и их знаменатель кажой прогрессии  обязан быть натуральным числом большим 1 (иначе они не состояли целиком из натуральных чисел или не были бы бесконечными). Это значит, что с некоторого номера каждый элемент прогрессии делится на ее знаменатель, т.е. является составным числом. Поэтому если взять достаточно большое простое число  (а это можно сделать, т.к. простых бесконечно много), то оно и будет искомым.