Как доказать, что если a, b, c пифагорова тройка, (a,b - катеты) , то или a или b делится на 4

Рассмотрим 2 случая: 1) Среди чисел а и b есть нечётное. Пусть, для определённости, это b. Если бы а также было нечётным, то, поскольку квадрат нечётного числа даёт остаток 1 при делении на 4, то a^2+b^2 делилось бы на 2, но не делилось бы на 4. Но тогда с не могло бы быть целым числом. Следовательно а в этом случае чётное. Тогда с^2=a^2+b^2 нечётное, а, следовательно, и с ---нечётное. (a/2)^2=(c/2)^2-(b/2)^2=((c-b)/2)*((c+b)/2). Поскольку ((c+b)/2)-((c-b)/2)=b ---нечётное число, то числа ((c+b)/2) и ((c-b)/2) имеют разную чётность, и, следовательно, их произведение чётно. Поэтому (а/2) чётно. И значит а делится на 4. 2) Числа а и b оба чётные. Тогда (а/2)^2+(b/2)^2=(c/2)^2 и все числа (а/2), (b/2) и (c/2) ---целые. Тогда (а/2) и (b/2) не могут быть одновременно нечётными. Поэтому среди чисел (а/2) и (b/2) есть чётное. А значит, среди чисел а и b есть такое, которое делится на 4.

Представим нашу тройку в виде трех чисел (m^2-n^2 ; 2*m*n ;m^2+n^2) Причем m и n имеют разную четность. Иначе тройка будет такая же, но каждое число будет домножено на констатнту. U Пусть четное m, иначе переобозначим. Тогда m = 2p Откуда : (4p^2 - n^2 ; 4pn ; 4p^2 + n^2 ); 4pn всегда делится на 4.