[latex] \frac{(x^{2}+1)^{2}}{x(x+1)^{2}} = \frac{625}{112}[/latex] Как решить теорема Безу не помогает.

Решение. Разделим числитель и знаменатель на [latex]x^2[/latex], получим [latex]\dfrac{(x+\frac1x)^2}{(\sqrt x+\frac1{\sqrt x})^2}=\dfrac{625}{112}[/latex] (Понятно, что x > 0) Сделаем замену [latex]t=\sqrt x+\frac1{\sqrt{x}}>0[/latex]. Подмечая, что [latex]t^2=x+2+\frac 1x[/latex], легко выразить всю левую часть уравнения в терминах t: [latex]\dfrac{(t^2-2)^2}{t^2}=\dfrac{625}{112}\\ \left(t-\dfrac2t\right)^2=\dfrac{625}{112}\\ t-\dfrac2t=\pm\sqrt{\dfrac{625}{112}}=\pm\dfrac{25}{4\sqrt7}[/latex] После домножения на t и переноса всего в одну часть будем иметь 2 уравнения [latex]t^2\mp\dfrac{25}{4\sqrt7}t-2=0[/latex] Аккуратно считаем дискриминант: [latex]D=\dfrac{625}{112}+8=\dfrac{1521}{112}=\dfrac{39^2}{112}[/latex] Тогда все корни этих уравнений задаются выражением (плюсы-минусы выбираются независимо) [latex]\dfrac12\left(\pm\dfrac{25}{4\sqrt7}\pm\dfrac{39}{4\sqrt{7}}\right)[/latex] Положительные корни это: [latex]t_1=\dfrac{14}{8\sqrt7}=\dfrac{\sqrt7}4\ \textless \ 1\\ t_2=\dfrac{64}{8\sqrt7}=\dfrac{8}{\sqrt7}[/latex] Первый корень не даст вещественных иксов: уравнения вида u+1/u=a не имеют положительных решений при a<1. Раскручиваем второй корень: [latex]\sqrt x+\dfrac1{\sqrt x}=\dfrac8{\sqrt7}[/latex] Два корня можно либо угадать сразу, либо сделать замену, обозначив корень новой буквой. Мне удобней возвести в квадрат и уже потом решать. [latex]x+2+\dfrac1x=\dfrac{64}7\\ x+\dfrac1x=\dfrac{50}7=7\dfrac17\\ \boxed{x\in\left\lbrace7;\dfrac17\right\rbrace}[/latex]