Может ли быть наречие сказуемым в предложении?

Вполне возможно. Сказуемое не ограничивается только одной частью речи - глаголом. И, скорее всего, то же предложение "яйцо всмятку" всмятку - это и есть сказуемое. Яйцо. о нём что говорится? - что оно всмятку)))))))))

мне дорого. дорого это сказуемое

Например: Солнце село, но в лесу ещё светло Светло будет сказуемым

я считаю, что сказуемое бывает наречием

холодно - это слово категории состояния. Это другая часть речи, похожая на наречие. Оно всегда сказуемое в отличиеот наречия.

На улице было холодно. (было холодно-составное именное сказуемое)

Чаще они входят в состав сказуемого: Яйцо было всмятку (было всмятку - составное именное сказуемое).