Найти наибольшее и наименьшее значения функции без использования производной y=cos^2x-sinx

Поведем некоторые преобразования. [latex]\displaystyle \cos^2x-\sin x=(1-\sin^2x)-\sin x=-(\sin^2x+\sin x-1)= \\ -\left\{\left[\sin^2x+2\cdot \frac{1}{2}\cdot\sin x+\left( \frac{1}{2}\right)^2\right]- \left( \frac{1}{2}\right)^2-1\right\}= \\ \\ \frac{5}{4} -\left(\sin x+ \frac{1}{2}\right)^2=1.25-(\sin x+0.5)^2[/latex] Рассмотрим, в каких пределах может изменяться величина f=(sin x+0.5)². Мы знаем, что синус может меняться в пределах от -1 до 1. Максимальное значение f=2.25 достигается при sin x = 1 При этом значение y будет минимальным и составит 1.25-2.25 = -1. Максимальное значение у можно получить, если вычесть из 1.25 что-то отрицательное или положительное, но как можно меньшей величины. f - это квадрат некоторого выражения и отрицательным он быть не может. Но при sin x=-0.5 получаем f=0 и y=1.25 Ответ: y ∈ [-1;1.25]

y=cos²x-sinx=1-sin²x-sinx=1-(sin²x+sinx+1/4)+1/4=5/4-(sinx+1/2)² sinx=-1/2⇒x=(-1)^(n+1)*π/6+πn,n∈z⇒y=5/4-(-1/2+1/2)²=5/4 sinx∈[-1;1] sinx+1/2∈[-1/2;3/2] (sinx+1/2)∈[1/4;9/4] 5/4-(sinx+1/2)²∈[-1;1] Ответ у наиб=5/4 ;унаим=-1