Подскажите*. Как можно доказать, что сумма углов треугольника равна 180 градусам?

В википедии есть статья "Теорема о сумме углов треугольника". Мой учитель очень наглядно складывал вырезанный из бумаги треугольник углами в центр вписанного круга.

пристрой ещё один треугольник - получишь квадрат !

Пусть ABC — произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC. Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD. Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD и секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана. Из теоремы следует, что у любого треугольника два угла острые. Действительно, применяя доказательство от противного, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть, по крайней мере, два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих углов не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.

провести прямую паралельную одной из сторон через вершину и тогда все станет наглядно

Посмотри здесь: [ссылка заблокирована по решению администрации проекта]