Помогите пожалуйста решить интеграл меньше br больше пределы от 0 до1 меньше br больше Ln( корень от x, потом без корня +1) dx

Решение. Интеграл берется по частям. Но лучше сначала произвести замену переменной. x^0,5=t; t^2=x; dx=2*t*dt; Интеграл от 2*t*(Ln(t+1))*dt=[2*t*dt=dU; U=t^2; P=Ln(t+1); dP=dt/(t+1)]=(t^2)*Ln(t+1)-Интеграл от ((t^2)*dt)/(t+1)=(t^2)*Ln(t+1)-0,5*t^2+t-Ln(t+1); Результат: x*Ln(x^0,5+1)-0,5*x+x^0,5-Ln(x^0,5+1)+C. Значение определенного интеграла в указанных ВАМИ пределах, равно 0,5.

По частям: int_{0}^{1} ln[1+sqrt[x]] dx = (x*ln[1+sqrt[x]])|_{0}^{1} - int_{0}^{1} (x dx)/([1+sqrt{x}]*2*sqrt{x}) = ln[2] - int_{0}^{1} (sqrt{x} dx)/(1+sqrt{x}) = ln[2] -(2 Log[1+sqrt{x}]+x-2sqrt{x})|_{0}^{1}= ln[2] +1-2ln[2]= 1-ln[2]