Помогите с логарифмичемким нравенством. если можно фоткой

Неравенство страшно только на вид. Спасает то, что у обоих логарифмов основание одинаковое. 1) Найдем сначала область определения. Основание логарифма должно быть положительно и не = 1. Число под логарифмом должно быть положительно. Знаменатель дроби не должен равняться 0 { [latex]2^{(x+1)^2}-1\ \textgreater \ 0[/latex] { [latex]2^{(x+1)^2}-1 \neq 1[/latex] { 2x^2 + 2x + 3 > 0 { 2x^2 + 2x + 3 =/= 1 { x^2 - 2x > 0 { x^2 + 6x + 10 > 0 { [latex]log_{(2^{(x+1)^2}-1)} (x^2 + 6x + 10) \neq 0[/latex] { [latex]log_{(2x^2+2x+3)} (x^2 - 2x)\ \textgreater \ 0[/latex] Выделим отдельно три неравенства { 2x^2 + 2x + 3 > 0 { 2x^2 + 2x + 3 =/= 1 { x^2 + 6x + 10 > 0 Они все три выполняются при любом х, поэтому их можно убрать. { [latex]2^{(x+1)^2}\ \textgreater \ 1[/latex] { [latex]2^{(x+1)^2} \neq 2[/latex] { x^2 - 2x > 0 { x^2 + 6x + 10 =/= 1 { [latex]log_{(2x^2+2x+3)} (x^2 - 2x)\ \textgreater \ 0[/latex] В 1-ом неравенстве показатель (x+1)^2 > 0 при любом x =/= -1, поэтому [latex]2^{(x+1)^2}\ \textgreater \ 1[/latex] при любом x =/= -1. Во 2-ом неравенстве (x+1)^2 =/= 1, то есть x+1 =/= -1 и x+1 =/= 1, отсюда x =/= -2 и x =/= 0. Решение 3-го неравенства x < 0 U x > 2 4-ое неравенство можно переписать так: x^2 + 6x + 9 + 1 = (x + 3)^2 + 1 =/= 1 Его решение: x =/= -3 В итоге получаем решение первых 4 неравенств: x ∈ (-oo; -3) U (-3; -2) U (-2; -1) U (-1; 0) U (2; +oo) Теперь решаем 5-ое неравенство [latex]log_{(2x^2+2x+3)} (x^2 - 2x)\ \textgreater \ 0[/latex] Основание логарифма 2x^2+2x+3 > 1 при любом х, поэтому x^2 - 2x > 1 x^2 - 2x - 1 > 0 D = 4 - 4(-1) = 8 x1 = (2 - √8)/2 = 1 - √2 ≈ -0,414 x2 = (2 + √8)/2 = 1 + √2 ≈ 2,414 x ∈ (-oo; 1-√2) U (1+√2; +oo) С учетом первых трех неравенств получаем Область Определения: x ∈ (-oo; -2) U (-2; -1) U (-1; 1-√2) U (1+√2; +oo) 2) Теперь решаем само неравенство. Обозначим условно основание [latex]2^{(x+1)^2-1}=c[/latex] [latex] \frac{log_c(log_{(2x^2+2x+3)}(x^2-2x))}{log_c(x^2 + 6x + 10)} \geq 0[/latex] У логарифмов есть интересное свойство: [latex] \frac{log_c(a)}{log_c(b)} =log_b(a)[/latex] Поэтому наше неравенство можно переписать так: [latex]log_{(x^2 + 6x + 10)}(log_{(2x^2+2x+3)}(x^2-2x))} \geq 0[/latex] То есть логарифм от логарифма. Основание внешнего логарифма x^2 + 6x + 10 = (x+3)^2 + 1 >= 1 при любом x, поэтому график внешнего логарифма - возрастающий, то есть [latex]log_{(2x^2+2x+3)}(x^2-2x) \geq 1[/latex] Но это основание тоже 2x^2 + 2x + 3 > 1 при любом х, поэтому график тоже возрастающий. x^2 - 2x >= 2x^2 + 2x + 3 Отсюда x^2 + 4x + 3 <= 0 (x + 3)(x + 1) <= 0 x ∈ [-3; -1] С учетом Области Определения x ∈ (-3; -2) U (-2; -1)