При каких значениях параметра p отношение корней уравнения x^2 +2px+1=0 равно 9?

Пусть, первый корень равен [latex]x_1[/latex] , тогда второй корень равен: [latex]x_2=x_1\cdot 9=9x_1[/latex] Так как : [latex] \frac{x_2}{x_1}=9 [/latex] По теореме Виета, любое квадратное уравнение, можно представить с помощью его корней: [latex]a(x-x_1)(x-x_2)[/latex] В нашем случае a=1.  Следовательно, имеем следующее уравнение: [latex](x-x_1)(x-x_2)=x^2-xx_2-xx_1+x_1x_2=x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2[/latex] Так как: [latex]x_2=9x_1[/latex] Следовательно: [latex]x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2=x^2-10x_1x+9x_1^2[/latex] Таким образом: [latex]x^2-10x_1x+9x_1^2=x^2 +2px+1[/latex] [latex]-10x_1x=2px \\-5x_1=p[/latex] [latex]9x_1^2=1 \\x_1^2= \frac{1}{9} \\x_{1_{1,2}}= \pm\sqrt{ \frac{1}{9} } =\pm \frac{1}{3} [/latex] Следовательно, p равен: [latex]p_1=-5 \cdot \frac{1}{3} =-1 \frac{2}{3} \\p_2=-5\cdot (- \frac{1}{3} )=1 \frac{2}{3} [/latex]