Приняв площадь прямокгольника за 1, запишите число 1 в виде суммы аликаотных дробей с различными знаменателями

Аликвотными называют дроби с числителем, равным единице, и целым знаменателем. Такие дроби использовались в древнем Египте. Должно выполняться: [latex] 1 = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3} + ... + \frac{1}{n_k} [/latex] ; Пусть [latex] n_1 = 2 , [/latex] тогда: [latex] 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3} + ... + \frac{1}{n_k} [/latex] ; [latex] 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3} + ... + \frac{1}{n_k} [/latex] ; [latex] \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3} + ... + \frac{1}{n_k} = \frac{1}{2} [/latex] ; Пусть [latex] n_2 = 3 , [/latex] тогда: [latex] \frac{1}{3} + \frac{1}{n_3} + ... + \frac{1}{n_k} = \frac{1}{2} [/latex] ; [latex] \frac{1}{n_3} + ... + \frac{1}{n_k} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} [/latex] ; [latex] \frac{1}{n_3} + ... + \frac{1}{n_k} = \frac{1}{6} [/latex] ; Тогда за [latex] n_3 [/latex] можно взять [latex] n_3 = 6 [/latex] и: [latex] \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 , [/latex] Что и требуется по условию. Учитывая предложение Hote, каждую и уже полученных дробей можно, в свою очередь, представить в виде более мелких дробей, используя представление: [latex] \frac{1}{m} = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} , [/latex] и тогда можно дополнительно раздробить каждое из предложенных слагаемых, как: [latex] \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} , [/latex] получив [latex] \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = 1 , [/latex] или [latex] \frac{1}{6} = \frac{1}{7} + \frac{1}{42} , [/latex]  получив [latex] \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{42} = 1 [/latex] и т.п. В ответе и графическом представлении приведём наименее сложный вариант. О т в е т : [latex] 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} . [/latex]