Сколькими способами можно распределить 20 одинаковых шаров по четырем полкам так, чтобы на каждой полке был хотя бы 1 ?

ну смотри, если бы у нас было две полки, то количество состояний для них = 19 (это легко проверить простым перебором) . То есть формула такая: 19 (количество шаров на одной полке) в первой степени (количество вариантов перемещения этих шаров) . Если эта формула верна, то для случая с тремя полками будет 18 в квадрате, то бишь 324, а для четырёх полок - 17 в кубе = 4913.