Сумма двух натуральных чисел равна 1001. Какое наибольшее значение может принимать их наибольший общий делитель?

Докажем, что значение, большее 91, НОД принимать не может. Заметим, что  1001 = 7·11·13.  Так как каждое слагаемое в данной сумме делится на НОД, то НОД является делителем числа 1001. С другой стороны, меньшее слагаемое в сумме (а значит и НОД) не больше, чем  1001 : 10,  то есть не больше 101. Осталось заметить, что 91 – наибольший из делителей числа 1001, удовлетворяющий этому условию. Ответ:91