ТОчки А и В лежат в плоскости альфа,а точка О-вне плоскости.Докажите,что прямая,проходящая через середины отрезков

Пусть точка К - середина отрезка ОА, а точка М - середина отрезка ОВ. Тогда отрезки КМ и АВ делят отрезки ОА и ОВ на пропорциональный части, т. е. ОК / КА = ОМ / МВ, а следовательно КМ || АВ. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна хотя бы одной прямой плоскости, значит она параллельна плоскости. Прямая KM параллельна прямой АВ, а значит параллельна плоскости альфа.

Через точки А, В, О можно провести плоскость. Тогда отрезок, соединяющий середины отрезков ОА и ОВ (например, РК ), является средней линией треугольника ОАВ. Поэтому РК II АВ. Прямая РК, не лежащая в плоскости альфа, параллельна прямой АВ, лежащей в плоскости альфа, значит, прямая РК параллельна всей плоскости альфа.