Упростите выражение: [latex]\sqrt({x-2})^{2}+\sqrt({x+2})^{2}[/latex], если [latex] x\leq-3[/latex]

x<=-3 √(x-2)²=|x-2|= 2-x √(x+2)²=|x+2|= -(x+2) √(x-2)²+√(x+2)²=|x-2|+|x+2|= (2-x)-(x+2) = 2-x-x-2 = -2x

√(х - 2)² + √(х + 2)² при х≤ -3 Корень квадратный из квадрата числа может быть положительным или отрицательным, например, если  х² = 4, то √х² = ±2. Поэтому следует рассмотреть 4 случая: 1) (х - 2) ≥ 0      ⇒ х ≥ 2     (х - 2) ≥ 0      ⇒ х≥ -2 пересечение этих интервалов даёт х≥ -2, но в условии дано, что х≤ -3, поэтому данный случай рассматривать не надо.   2) (х - 2) ≥ 0      ⇒ х ≥ 2     (х - 2) ≤ 0      ⇒ х≤ -2 Эти интервалы не пересекаются, поэтому данный случай не рассматриваем   3) (х - 2) ≤ 0      ⇒ х ≤ 2     (х - 2) ≥ 0      ⇒ х ≥ -2 Эти интервалы не пересекаются, поэтому данный случай не рассматриваем   4) (х - 2) ≤ 0      ⇒ х ≤ 2     (х - 2) ≤ 0      ⇒ х≤ -2 пересечение этих интервалов даёт х≤ -2 Интервал  х≤ -2 единственный из всех 4-х рассмотренных случаев, который соответсвует условию   х≤ -3. Итак, решаем, имея √(х - 2)² = -х + 2 и (х + 2)² = -х - 2 -х + 2 + ( -х - 2) = -х + 2 - х - 2 = -2х