В треугольнике АВС медианы AK и BL пересекаются под прямым углом.

Медианы в треугольнике делятся точкой пересечения в отношении 1/2 Пусть О-точка пересечения медиан. Обозначим LO-a,КО-в, тогда ВО-2а, АО-2в Рассмотрим тр. АОL:прямоугольный-по условию. АО=2в, LO-a, AL=корень из 13. По теореме Пифагора: (2в) в квадрате+а в квадрате=корень из 13 в квадрате. (1) Рассмотрим тр. ВОК: ВО-2а, КО-в, КВ=корень из 73 /2 По теореме Пифагора: (2а) в квадрате+в в квадрате=(корень из 73/2)в квадрате (2) Сложим выражение (1) с выражением (2) Получаем: 5 а*а+5в*в=13+73/4 (а*а+в*в) *5=(52+73)/4 а*а+в*в=25/4 (3) Рассмотрим тр. АОВ-прямоугольный; АО=2в, ВО=2а Значит, по теореме Пифагора: АВ*АВ=4а*а+4в*в=4(а*а+в*в) Из выражения (3):а*а+в*в=25/8 АВ*АВ=4*25/4 АВ=5 Вот-если в расчётах ничего не напутала

Обозначим точку пересечения медиан Р. Тогда по свойству медиан ВР: РL=АР: РК+2:1. Обозначим РL=х, РК=у. Из треуг-ка АРL по тереме пифагора и треуг-ка ВРК х^2+(2у) ^2=13 (2x)^2+у^2=73/4. Найдем х=2, у=3/2. Из треуг АВР по теореме пифагора АВ^2=(2х) ^2+(2y)^2 AB=5

Пусть M — точка пересечения AK и BL. Построим параллелограммы ABDC и ABCE. Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершин. Поэтому AK = ³⁄₂AM, BL = ³⁄₂BM; AD = 2AK = 3AM, BE = 3BM. AD² + BE² = (3AM)² + (3BM)² = 9AB². Запишем для параллограммов ABDC и ABCE свойство, что сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей: 2(AB² + AC²) = BC² + AD², 2(AB² + BC²) = AC² + BE². Складываем: 4AB² + 2(52 + 73) = 73 + 52 + 9AB², 5AB² = 52 + 73 = 125, AB² = 25, AB = 5.