В ящике находятся 80 стандартных и 20 нестандартных деталей. Найти вероятность того, что из пяти взятых наудачу деталей не менее четырёх окажутся стандартными.

[[[ I ]]] точный метод 1) Выбрать 5 из 100 деталей всего можно    [latex] C_{100}^5 [/latex]    способами. 2) Выбрать 5 из 80 стандартных деталей можно    [latex] C_{80}^5 [/latex]    способами. 3а) Выбрать 4 из 80 стандартных деталей можно    [latex] C_{80}^4 [/latex]    способами. 3б) Выбрать одну из 20 нестандартных деталей можно    [latex] C_{20}^1 = 20 [/latex]    способами. 3) Выбрать 4 из 80 стандартных деталей и ещё одну из 20 нестандартных можно    [latex] 20 C_{80}^4 [/latex]    способами. 4) Выбрать не менее 4 стандартных деталей при выборе можно    [latex] C_{80}^5 + 20 C_{80}^4 [/latex]    способами. 5) Вероятность    [latex] P [/latex]    того, что из пяти взятых наудачу деталей не менее четырёх окажутся стандартными равна: [latex] P = \frac{ C_{80}^5 + 20 C_{80}^4 }{ C_{100}^5 } = \frac{ 80!/(75!5!) + 20 \cdot 80!/(76!4!) }{ 100!/(95!5!) } = \\\\ = \frac{ 80 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 77 \cdot 76/5! + 20 \cdot 80 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 77/4! }{ 100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96/5! } = \frac{ 80 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 77 \cdot 76/5! + 100 \cdot 80 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 77/5! }{ 100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96/5! } = \\\\ = \frac{ 80 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 77 \cdot ( 76 + 100 ) }{ 100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96 } = \frac{ 80 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 77 \cdot 88 }{ 100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 48 } = \frac{ 80 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 7 \cdot 88 }{ 100 \cdot 9 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 48 } = \frac{ 8 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 7 \cdot 88 }{ 10 \cdot 9 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 48 } = \\\\ = \frac{ 8 \cdot 79 \cdot 78 \cdot 88 }{ 10 \cdot 9 \cdot 14 \cdot 97 \cdot 48 } = \frac{ 8 \cdot 79 \cdot 13 \cdot 88 }{ 10 \cdot 9 \cdot 14 \cdot 97 \cdot 8 } = \frac{ 79 \cdot 13 \cdot 88 }{ 10 \cdot 9 \cdot 14 \cdot 97 } = \frac{ 79 \cdot 13 \cdot 22 }{ 5 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 97 } = \frac{ 22 \ 594 }{ 30 \ 555 } \approx 0.739453 \ ; [/latex] [[[ II ]]] приближённый метод 1) Вероятность    [latex] P_5 [/latex]    того, что из пяти взятых наудачу деталей – – все пять окажутся стандартными равна: [latex] P_5 \approx ( \frac{80}{100} )^5 = ( \frac{8}{10} )^5 = \frac{8^5}{10^5} = \frac{2^{15}}{10^5} = \frac{ 2^{10} \cdot 2^5 }{10^5} = \frac{ 1024 \cdot 32 }{10^5} = 0.32768 \ ; [/latex] 2) Вероятность    [latex] P_4 [/latex]    того, что из пяти взятых наудачу деталей – – ровно четыре окажутся стандартными равна: [latex] P_4 \approx 5 \cdot \frac{20}{100} \cdot ( \frac{80}{100} )^4 = \frac{ 8^4 }{ 10^4 } = \frac{ 2^{12} }{ 10 \ 000 } = 0.4096 \ ; [/latex] поскольку нестандартная может оказаться на одном из пяти мест. 3) Вероятность    [latex] P [/latex]    того, что из пяти взятых наудачу деталей не менее четырёх окажутся стандартными равна: [latex] P \approx P_4 + P_5 = 0.32768 + 0.4096 = 0.73728 \ ; [/latex]

[latex]p =\frac{C_{80}^4*C_{20}^1+C_{80}^5}{C_{100}^5} = \frac{ \frac{80!}{4!*76!}*20+\frac{80!}{5!*75!} }{\frac{100!}{5!*95!}}=[/latex][latex]\frac{ \frac{77*78*79*80*5}{6}+\frac{76*77*78*79*80}{120}}{\frac{96*97*98*99*100}{120}}=[/latex][latex]\frac{77*13*79*80*5+\frac{76*77*78*79*2}{3}}{\frac{96*97*98*99*5}{6}}=[/latex][latex]\frac{77*13*79*80*5+76*77*26*79*2}{16*97*98*99*5}=[/latex][latex]\frac{77*79*2*(13*40*5+76*26)}{99*2*8*97*98*5}=\frac{7*79*13*(40*5+76*2)}{9*8*97*98*5}=[/latex][latex]\frac{79*13*8*(25+19)}{9*8*97*14*5}=\frac{79*13*44}{9*97*14*5} =\frac{79*13*22}{9*97*35}=0,739453[/latex]