3. Наступний період починається з появи роботи Я. Бернуллі «Мистецтво припущення» (1713 р.). Це перша робота, у якій була строго доведена гранична теорема - найпростіший випадок закону більших чисел. Теорема Бернуллі дала можливість широко застосовувати теорію ймовірностей до статистики. До цього періоду ставляться роботи Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона й ін.; теорія ймовірностей починає застосовуватися в різних областях природознавства. Центральне місце в цьому періоді займають граничні теореми.

4. Наступний період розвитку теорії ймовірностей зв'язаний, насамперед, з росіянці (Петербурзької) школою. Тут можна назвати такі імена, як Чебишев П.Л., Марков А.А., Ляпунов А.М. У цей період поширення закону більших чисел і центральної граничної теореми на різні класи випадкових величин досягає своїх природних границь. Закони теорії ймовірностей стали застосовуватися до залежних випадкових величин. Все це дало можливість прикласти теорію ймовірностей до багатьом розділам природознавства, у першу чергу - до фізики. Виникає статистична фізика, що розвивається у взаємозв'язку з теорією ймовірностей.

5. Сучасний період розвитку теорії ймовірностей почався із установлення аксіоматики. Цього в першу чергу вимагала практика, тому що для успішного застосування теорії ймовірностей до фізики, біології й іншим галузям науки, а також до техніки й військової справи необхідно було уточнити й привести в струнку систему її основні поняття. Завдяки аксіоматиці теорія ймовірностей стала абстрактно-дедуктивною математичною дисципліною, тісно пов'язаної з теорією множин, а через неї-з іншими математичними дисциплінами. Це обумовило небувалу широту досліджень по теорії ймовірностей, починаючи від хазяйновито – прикладних питань і закінчуючи самими тонкими питаннями кібернетики. Перші роботи цього періоду пов'язані з іменами Бернштейна, Мизеса, Бореля. Остаточне встановлення аксіоматики відбулося в 30-е роки XX в., коли була опублікована, і одержала загальне визнання аксіоматика А.Н. Колмогорова.

В останні час намітилися нові підходи до основних понять теорії ймовірностей. Про це свідчить появу теорії надійності, теорії інформації, теорії масового обслуговування й т.п.

Ми ж розглянемо динаміку розвитку визначення поняття ймовірності; такого поняття в теорії ймовірностей, як математичне очікування, а також відомого закону більших чисел.

Простеживши розвиток цих понять від найпростіших уявлень до закінчених і обміркованих їхніх форм, ми зможемо глибше зрозуміти їхній зміст, що, безсумнівно, важливо з методичної точки зору.

1. Динаміка розвитку поняття ймовірності

1.1 Перші спроби введення поняття ймовірності

Розглянемо, як розвивалося поняття ймовірності.

Д. Кардано (1501–1576 р.) у своїй роботі «Книги про гру в кості» впритул підійшов до визначення поняття ймовірності через відношення рівно можливих подій [1].

«Отже, є одне загальне правило для розрахунку: необхідно врахувати загальне число можливих випадань і число способів, якими можуть з'явитися дані випадання, а потім знайти відношення останнього числа до числа можливостей, що залишилися, випадань; приблизно в такій же пропорції визначаються відносні розміри ставок для того, щоб гра йшла на рівних умовах».

Кардано в цьому уривку говорить, що якщо можливе число випробувань дорівнює n , а число сприятливих випробувань – m , те ставки повинні бути у відношенні (мова йде про поділ ставки, тому що вчених того часу дуже хвилював це питання, багато хто з них намагалися вирішувати цю задачу).

У роботах Л. Пачоли, Н. Тарталья робиться спроба виділити нове поняття ймовірності – відношення шансів – при рішенні ряду специфічних задач, насамперед комбінаторних.

Треба відзначити, що поняттям імовірності активно користувалися вчені того часу, не визначаючи його а розуміючи його інтуїтивно. Паскаль і Ферма в листах один одному використовували поняття ймовірності в схованій формі, не визначає його в конкретне визначення.

Гюйгенс (1629–1695 р.) у своїй книзі «Про розрахунки в азартних іграх» виділив поняття «шанс», що по суті, є ще не дуже усвідомлене поняття ймовірності [2]. У введенні Гюйгенс пише: «Хоча в іграх, заснованих на чистому випадку, результати є невідомими, однак шанс гравця на виграш, або на програш має певну вартість. Наприклад, якщо хто-небудь тримає парі, що він викине при першому киданні однієї кістки шість очка, те невідомо, чи виграє він або програє, але що є певним вирахуванням це те, наскільки його шанси програти парі перевершують його шанси на виграш парі».

Т. Байес (1702–1761 р.) у своїй роботі, опублікованої в «Філософських працях» за 1763 р. Р. Прайсом за назвою «Досвід рішення задачі по теорії ймовірностей покійного високоповажного містера Байеса, члена Королівського суспільства, повідомлено містером Прайсом у листах Джонові Кентону, магістрові мистецтв, члену Королівського суспільства» увів поряд з іншими визначеннями й визначення поняття ймовірності. Байес формулює наступні визначення.

1. Кілька подій є несумісними, якщо настання одного з них виключає настання інших.

2. Події, що виключають друг друга, якщо одне з них повинне наступити, але обоє одночасно наступити не можуть.

3. Говорять, що подія не відбулася, якщо воно не наступає або, якщо наступає подія, що виключає.

4. Говорять, що подія визначена, якщо воно наступило або не наступило.

5. Імовірність якої-небудь події є відношення значення, що дається очікуванню, пов'язаному з настанням події, і значення очікуваної в цьому випадку прибутку.

6. Під шансом я розумію те ж саме, що й під імовірністю.

7. Події є незалежними, якщо настання одного не зменшує й не збільшує ймовірності інших [1,2].

Деякі із цих визначень, наприклад 1 і 7, майже повністю збігаються із сучасними. Визначення ж імовірності не відрізняється ясністю, можливо тому, що у формулюванні використовується невизначене поняття: «значення очікування, пов'язаного з настанням події».

У другому розділі своєї роботи Байес користується геометричним визначенням імовірності в його сучасному змісті (не визначаючи його), вирішуючи задачу про кидання кулі W на квадратну дошку ABCD

На AB беруться дві будь-які крапки f і b і через них C F s L D проводяться лінії, паралельні AD до перетинання з CD у крапках F і L. Після цього Байес формулює наступну лему.

Лема.

Імовірність того, що крапка O (крапка зупинки OO кулі) буде перебувати між двома якими-небудь крапками лінії AB , є відношення відстані між двома крапками до всієї лінії AB .

Інакше кажучи, імовірність того, що куля, кинута випадковим образом на ABCD , зупиниться в прямокутнику bfFL , дорівнює . Аналогічно ми обчислюємо геометричним способом імовірність і зараз, як відношення мер.

P(A)= , ( ) – імовірнісний простір,

-клас або сімейство підмножин в ,