Дипломная работа: Физические модели при изучении интеграла в курсе алгебры и начал анализа в 10-11 классах

Задача. Предположим, что на точку, движущуюся по оси х , действует некоторая сила F , направленная по той же оси. Мы знаем, что если сила F постоянна, то работа равна Fs , гдеs – путь, пройденный точкой. Предположим теперь, что F меняется от точки к точке и нам известно её значение F (х) в каждой точке х некоторого промежутка [a ; b ]. Как найти работу А по перемещению точки из а в b ?

Разобьем отрезок [a ; b ] на n отрезков. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке сила постоянна. В качестве постоянной силы на отрезке [x_{k -1} ; x_k ] можно взять значение функции F в одной из точек этого отрезка, например в точке x_k . Работу на k – отрезке пути приближенно можно представить как произведение F ( x_k ) Δx_k , а на всем отрезке – суммой:

A_n =F(x₁ ) Δx₁ +…+F(x_n ) Δx_n . (1)

Таким образом, работу А по перемещению точки из а в b можно приближенно вычислять по формуле (1).

Сумму (1) называют интегральной суммой функции F ( x ) на отрезке [a ; b ]. При этом предполагается, что функция F ( x ) непрерывна на отрезке [a ; b ] и может принимать любые значения. Если и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная сумма A_n стремится к некоторому числу, которое и называют интегралом от функции F ( x ) на отрезке [a ; b ] и обозначают .

2. Задача о вычислении массы стержня.

Довольно популярна среди авторов учебников задача о вычислении массы стержня. [8], [10]

Задача. Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность которого в точке x вычисляется по формуле p = p ( x ). Найти массу стержня.

Рассмотрим массу стержня на отрезке [a ; b ]. Разобьём отрезок на n равных частей. Будем приближенно считать, что на каждом отрезке плотность постоянна. В качестве постоянной плотности на отрезке [x_{k -1} ; x_k ] можно взять значение функции р в одной из точек этого отрезка, например в точке x_k . Массу на k – отрезке приближенно можно представить как произведение р( x_k ) Δx_k , а на всем отрезке – суммой:

m_n = p ( x ₁ ) Δx ₁ +…+ p ( x_n ) Δx_n . (2)

Таким образом, массу стержня m можно приближенно вычислять по формуле (2).

Точное значение массы стержня вычисляется по формуле

.

Далее вводится понятие интеграла, как предела суммы.

3. Задача о перемещении точки.

При введении определенного интеграла, в качестве задачи, приводящей к данному понятию, наиболее рациональным и простым для понимания учащимися является рассмотрение задачи о перемещении точки, т. к. с обратной задачей школьники уже встречались при изучении применения производной в физике.

Между положением (координатной) точки и её скоростью есть известная связь, лежащая в основе математического анализа: скорость является производной от координаты по времени. Сама операция нахождения производной называется дифференцированием. Обратная задача – нахождение положения точки по её скорости – решается с помощью другой математической операции, называемой интегрированием.

Задача. Пусть по прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v ( t ). Найти перемещение точки за промежуток времени [a ; b ].

Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt , т. е. s = v ( b - a ). Для неравномерного движения разобьём промежуток времени [a ; b ] на n равных частей. Рассмотрим промежуток времени [t_{k -1} ; t_k ] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой как в момент времени t_k : v = v ( t_k ). Перемещение точки за промежуток времени [t_{k -1} ; t_k ] приближенно можно представить как произведение v ( t_k ) Δt _k . Найдем приближенное значение перемещения s:

s ≈ S _n ,

гдеS _k =v(t ₁ ) Δt ₁ +…+v(t _k ) Δt _k .

Точное значение перемещения вычисляется по формуле

.

Далее вводится понятие интеграла, как предела суммы. [10]

Введение понятия интеграла как приращения первообразной ни в одном из рассмотренных учебников не используется, примеры данного метода введения будут приведены в следующей главе.

1.5. Различные методы изучения приложений интеграла в

физике.

Авторы различных учебников по–разному выводят формулы при изучении приложений интеграла. Рассмотрим несколько различных методов получения (вывода) формул.I . Составление интегральных сумм. Масса стержня переменной плотности. Будем считать, что отрезок [a; b ] оси Ох имеет массу с переменной линейной плотностью ρ(х) 0, где ρ(х) – непрерывная на отрезке [a ; b ] функция. Общая масса этого отрезка,где a=x₀ <x₁ <…<x_n =b , Δx_i =x_i+1 -x_i .Аналогично можно вывести формулы для нахождения работы силы, работы электрического заряда, давления жидкости на стенку, центра тяжести системы материальных точек. [11]Центр масс. При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:Координата центра масс системы материальных точек А₁ , А₂ ,…, А _n с массами m ₁ , m ₂ ,…, m_n , расположенных на прямой в точках с координатами x ₁ , x ₂ ,…, x_n , находится по формуле.2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на материальную точку, поместив её в центр масс этой части, и приписать ей массу, равную массе рассматриваемой части фигуры.Пусть вдоль стержня – отрезка [a ; b ] оси Ох – распределена масса плотностью ρ(х) , где ρ(х) – непрерывная функция. Покажем, что координата центра масс равна .Разобьем отрезок [a ; b ] на n равных частей точками a= x₀ < x₁ <…< x_n = b . На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянной и примерно равной ρ( x_{k -1} ) на k -м отрезке (в силу непрерывности ρ(х) ). Тогда масса k -отрезка примерно равна , а масса всего стержня равна . Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы m_k , помещенной в точке x_{k -1} , получим, что координата центра масс приближенно находится так:

.

Теперь осталось заметить, что при числитель стремится к интегралу , а знаменатель (выражающий массу всего стержня) – к интегралу . [8]

Аналогично можно вывести формулу для нахождения работы силы.

II . Метод дифференциалов.

Электрический заряд.

Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Как вычислить заряд q , переносимый за интервал времени [a ; b ] через сечение проводника? Если бы сила тока I не менялась со временем, то изменение заряда q равнялось бы произведению I(b-a). Пусть задан закон изменения I = I ( t ) в зависимости от времени. Тогда на малом интервале времени [t ; t + dt ] можно считать силу тока постоянной и равной I ( t ) . Тогда дифференциал заряда запишем так: dq = I ( t ) dt . Отсюда получаем, что весь заряд, переносимый за интервал времени [a ; b ] можно записать в виде интеграла:

.

Аналогично выводятся и формулы для нахождения работы силы, перемещения точки, вычисления массы стержня, электрического заряда и давления воды на плотину. [2]

III . Рассмотрение практической задачи.

Работа силы.

Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,08 м, если для её сжатия на 0,01 м требуется сила 10 Н. [1]

По закону Гука сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т. е. F = kx , где x – величина растяжения или сжатия (в м), k – постоянная. Из условия задачи находим k . Так как при х =0,01 м и сила F =10 Н, то . Следовательно, F ( x )= kx =1000x .

Работа силы F ( x ) при перемещении тела из точки а в точку b равна

.

Используя данные задачи, получаем:

(Дж).

Рассмотрим достоинства и недостатки каждого из выше перечисленных методов.