Ознайомлення дітей із задачами на пропорційне ділення проводять у 4 класі. Спочатку вони виконують підготовчі завдання [7, 31].

У початковому курсі математики арифметичні задачі використовуються протягом усіх чотирьох років початкового навчання. Система їх розміщення, природно, збігається з логікою розгортання понять, що вводяться, ознайомлення з арифметичними діями і їх властивостями тощо. Особливість задач, які для цього відбираються, максимальна їх простота. Вони мають бути цілком зрозумілі, близькі дітям за сюжетом, просто викладені, без будь-яких незрозумілих, нових для дітей слів, які б потребували додаткових пояснень. Саме цій меті підпорядкована більша частина задач, широко представлених у програмі і в підручниках для кожного року навчання.

Оскільки в 1 класі діти вперше ознайомлюються з діями додавання і віднімання, а в 2 з діями множення і ділення, то тут передбачається використання простих текстових задач, насамперед спрямованих на розкриття змісту цих дій. Жодного означення дій у початкових класах не вводиться, і тому їх зміст діти мають усвідомити, головним чином, на основі практичних операцій з різними множинами предметів і в процесі розв’язування відповідних простих сюжетних задач, що дають змогу перевести ці операції в план розумових дій [39, 134].

Отже, добір і розміщення текстових задач для 1-4 класів підлягає логіці розгляду нових питань арифметичної теорії і відповідає вимозі поступового ускладнення завдань, що зумовлюється деякими особливостями форми подання математичних зв’язків і відношень, які визначають вибір арифметичної дії, необхідної для розв’язування задачі. Ускладнювати завдання можна, ввівши нові величини, розглядаючи з дітьми нові для них зв’язки.

Однією з функцій складених задач є розвиток здобутих знань, удосконалення їх у процесі застосування в змінених умовах. Але складені сюжетні задачі, введено в початковий курс математики не лише для цього. Одна з їх функцій – навчити дітей “перекладу” словесно заданих відношень і зв’язків між різними величинами, числами, на мову математичних виразів, рівностей, рівнянь. Цій меті підпорядковані і добір задач, і система їх розміщення в часі, і методика роботи над ними.

Ця система забезпечує поступовий перехід від простого до дедалі складнішого: від складання простих виразів і рівнянь у процесі розв’язання задач на одну дію до складання виразів з 2-3 діями при розв’язуванні досить легких за структурою складених задач. Поступове наростання труднощів у таких вправах можливе тільки тоді, коли вчитель розуміючи завдання, що стоять перед ним, використовуватиме для цього пропоновані вправи з підручника [23, 54].

Лише вчитель може визначити, яку задачу і коли можна запропонувати дітям, яке завдання доцільно пов’язати з розв’язуванням цієї задачі: в одному разі досить вказати дію, за допомогою якої розв’язується задача, в іншому – скласти за нею вираз чи рівняння, ще в іншому – доцільно розібрати хід розв’язування за діями, послідовно з’ясовуючи роль кожної з них і коментуючи здобуті результати.

Отже, серед типових складених задач важливе місце займають задачі на пропорційне ділення. Саме цей вид задач є предметом нашого дослідження.

1.2 Ступені роботи над текстовими задачами

Розв'язати математичну задачу – це значить знайти таку послідовність загальних положень математики (означень, аксіом, теорем, правил, законів, формул), використовуючи які до умов задачі чи до їх наслідків (проміжних результатів розв'язання), одержуємо те, що вимагається в задачі, - її відповідь.

Вченими обґрунтовано, що психологічною основою формування вмінь розв’язувати текстові задачі є основні положення теорії поетапного формування розумових дій (О.М. Леонтьєв, П.Я. Гальперін, Н.Ф. Тализіна та ін.) у синтезі з основними положеннями асоціативно-рефлекторної теорії (Д.Н. Богоявленський, Є.Н. Кабанова-Меллер, Н.О. Менчинська та ін.). Уміння розв’язувати текстові задачі виробляються ефективно, якщо:

1) подавати повну орієнтовну основу дій;

2) при первинному поясненні розгорнутоподавати зразок розв’язування задачі з фіксацією складових операцій;

3) опрацьовувати виконання окремих дій, які входять до складу загального вміння шляхом розв’язання спеціальних вправ;

4) використовувати різні види моделей задачної ситуації;

5) забезпечувати різні види діяльності (репродуктивну, продуктивну, творчу) та тривалість процесу формування вміння [4, 43].

Робота над задачами не повинна зводитись до формування навичок розв’язування задач спочатку одного виду, потім другого і т. д. Основна мета – навчити дітей свідомо встановлювати певні зв’язки між даними і шуканим у різних життєвих ситуаціях, передбачаючи поступове ускладнення їх. Щоб добитися цього, вчитель повинен передбачити в методиці навчання розв’язування задач одного виду різні ступені, які мають свою мету.

На першому ступені вчитель готує дітей до розв’язування задач розглядуваного виду. На цьому ступені учні повинні засвоїти зв’язки, на основі яких вони вибиратимуть дії в процесі розв’язування таких задач.

На другому ступені вчитель ознайомлює учнів з розв’язуванням задач розглядуваного виду. Тут учні навчаються встановлювати зв’язки між даними і шуканим і на цій основі вибирати арифметичні дії, тобто вони навчаються переходити від конкретної ситуації, вираженої в задачі, до вибору відповідної арифметичної дії. Внаслідок такої роботи учні ознайомлюються з способом розв’язування задач цього виду.

На третьому ступені вчитель закріплює вміння розв’язувати задачі розглядуваного виду. На цьому ступені учні мають навчитися розв’язувати будь-яку задачу розглядуваного виду незалежно від її конкретного змісту, тобто вони мають узагальнити спосіб розв’язування задач цього виду [29, 19-20].

Узагальнено структура процесу розв’язування задач подана на рис.

Рис. Структура процесу розв’язування задачі

Розглянемо докладніше методику роботи на кожному з названих ступенів [8, 213-214].

Підготовча робота до розв’язування задач того чи іншого виду (перший ступінь) залежить від того, на який зв’язок між даними і шуканим треба спиратися під час вибору арифметичних дій. Відповідно до цього виконують спеціальні вправи.

1. Перед розв’язуванням задач у багатьох випадках виконують операції над множинами. Під час ознайомлення з розв’язуванням більшості простих задач повинні виконуватись вправи на оперування множинами. Елементами множин мають бути конкретні предмети (палички, геометричні фігури вирізані з паперу, самі учні, рисунки тощо.). Наприклад, до введення простих задач на знаходження суми пропонують вправи на об’єднання множин.

Дістаньте картинки, де намальовані курчата. (Діти виконують). На подвір’ї було 3 курчат. До них прибігли ще 2 курчат. Скільки тепер курчат? (Діти лічать картинки). Ми до 3 додали 2 (показує на картинки) і дістали 5.

Підготовкою до розв’язування задач на віднімання буде виконання операції вилучення частини певної множини, на множення – виконуються операції об’єднання рівно чисельних множин, на ділення – поділ множин на рід рівно чисельних множин.

За допомогою операції над множинами розкривають зміст виразів “більше на...”, “менше на...”, “більше в кілька разів...”, “менше в кілька разів...”, що є підготовкою для введення задач, пов’язаних з поняттям різниці та кратного відношення.

2. Більшість арифметичних задач пов’язана з величинами (довжина, час, маса, місткість тощо), тому треба ознайомити дітей із цією величиною. Також дітям корисно для подальшої роботи записувати в окремі зошити чи блокноти значення деяких величин: ціни на окремі товари, швидкості різних видів транспорту, відстані між містами чи найближчими селищами тощо.

3. Арифметичні дії під час розв’язування багатьох задач вибирають на основі зв’язків, які існують між величинами. Щоб у процесі вибору дій діти використовували і усвідомлювали ці зв’язки, потрібно розкрити зв’язки між величинами, розв’язуючи задачі на основі їх конкретного змісту.