Дипломная работа: Теория электрических цепей
1. Расчет реакции цепи на воздействие произвольной формы. Импульсная характеристика цепи. Интеграл наложения.
Ответ:
В основе временного метода лежит понятие переходной и импульсной характеристик цепи. Переходной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной функции. Обозначается переходная характеристика цепи g (t ). Импульсной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие единичной импульсной функции (d-функции). Обозначается импульсная характеристика h (t ). Причем, g (t ) и h (t )определяются при нулевых начальных условиях в цепи. В зависимости от типа реакции и типа воздействия (ток или напряжение) переходные и импульсные характеристики могут быть безразмерными величинами, либо имеют размерность А/В или В/А.
Использование понятий переходной и импульсной характеристик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия непериодического сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие типа единичной 1(t ) или импульсной функции d(t ), с помощью которых аппроксимируется исходный сигнал. При этом результирующая реакция линейной цепи находится (с использованием принципа наложения) как сумма реакций цепи на элементарные воздействия 1(t ) или d(t ).
Между переходной g (t ) и импульсной h (t ) характеристиками линейной пассивной цепи существует определенная связь. Ее можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций величины 1/t, сдвинутых друг относительно друга на время t :
т. е. единичная импульсная функция равна производной единичной функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной, то соотношение сохраняется и для импульсных и переходных реакций цепи
т. е. импульсная характеристика является производной от переходной характеристики цепи.
Уравнение (8.2) справедливо для случая, когда g (0) = 0 (нулевые начальны е условия для цепи). Еслиже g (0) ¹ 0, то представив g (t ) в виде g (t ) = , где = 0, получим уравнение связи для этого случая:
Для нахождения переходных и импульсных характеристик цепи можно использовать как классический, так и операторный методы. Сущность классического метода состоит в определении временной реакции цепи (в форме напряжения или тока в отдельных ветвях цепи) на воздействие единичной 1(t ) или импульсной d(t ) функции. Обычно классическим методом удобно определять переходную характеристику g (t ), а импульсную характеристику h (t ) находить с помощью уравнений связи (8.2), (8.3) или операторным методом.
При нахождении реакции цепи с помощью интеграла наложения используется импульсная характеристика цепи h (t ). Для получения общего выражения интеграла наложения аппроксимируем входной сигнал f 1 (t ) с помощью системы единичных импульсов длительности d t, амплитуды f 1 (t) и площади f 1 (t)d t (рис. 8.5). Выходная реакция цепи на каждый из единичных импульсов
Используя принцип наложения, нетрудно
получить суммарную реакцию цепи на систему единичных импульсов:
Интеграл (8.12) носит название интеграла наложения * . Между интегралами наложения и Дюамеля существует простая связь, определяемая связью (8.3) между импульсной h (t )и переходной g (t ) характеристиками цепи. Подставив, например, значение h (t ) из (8.3) в формулу (8.12) с учетом фильтрующего свойства d-функции (7.23), получим интеграл Дюамеля в форме (8.11).
Пример. На вход R С -цепи подается скачок напряжения U 1 . Определить реакцию цепи на выходе с использованием интегралов наложения (8.12) и Дюамеля (8.11).
Импульсная характеристика данной цепи равна (см. табл. 8.1): hu (t ) = = (1/RC)e– t / RC . Тогда, подставляя hu (t – t) = (1/RC)e–( t – t)/ RC в формулу (8.12), получаем:
Аналогично результат получаем при использовании переходной функции данной цепи и интеграла Дюамеля (8.11):
Если начало воздействия не совпадает с началом отсчета времени, то интеграл (8.12) принимает вид
Интегралы наложения (8.12) и (8.13) представляютсобойсвертку входного сигнала с импульсной характеристикой цепи и широко применяются в теории электрических цепей и теории передачи сигналов. Ее физический смысл заключается в том, что вход ной сигнал f 1 (t) как бы взвешивается с помощью функции h (t — t): чем медленнее убывает со временем h (t ), тем большее влияние на выходной сигнал оказывает более удаленные от момента наблюдения значение входного воздействия.
На рис. 8.6, а показан сигнал f 1 (t) и импульсная характеристика h (t — t), являющаяся зеркальным отображением h (t), а на рис. 8.6, б приведена свертка сигнала f 1 (t) с функцией h (t — t) (заштрихованная часть), численно равная реакции цепи в момент t .
Из рис. 8.6 видно, что отклик на выходе цепи не может быть короче суммарной длительности сигнала t 1 и импульсной характеристики th . Таким образом, для того чтобы выходной сигнал не искажался импульсная характеристика цепи должна стремиться к d-функции.
Очевидно также, что в физически реализуемой цепи реакция не может возникнуть раньше воздействия. А это означает, что импульсная характеристика физически реализуемой цепи должна удовлетворять условию
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--