Доклад: Филлотаксис и последовательность Фибоначчи

Реальные соцветия подсолнуха два семейства логарифмических спиралей Спирали одного семейства закручиваются к центру против хода часовой стрелки, другого — по ходу. В ботанике такое сочетание двух семейств спиралей называют филлотаксисом (в переводе с греческого слово это означает «устройство листа»).

Оказывается, числа спиралей в соцветиях подсолнечника приближенно равны двум соседним членам так называемой последовательности Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144.

Филлотаксис подсолнечника — одна из многих неожиданных встреч с последовательностью Фибоначчи. Впервые с ней столкнулся в прошлом столетии французский математик Эдуард Люка. Читая книгу «Искусство абака» знаменитого итальянского математика эпохи Возрождения Леонардо Пизанского, известного больше по прозвищу Фибоначчи, и решая одну из задач Леонардо, Люка составил последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., в которой

F_n = F_n–1 + F_n–2 .

Неожиданная встреча с этой последовательностью состоится сейчас и у нас. Предположим, что α² = 1 – α.

Выразим значения степеней α³ , α⁴ , α⁵ , ... через 1 = α⁰ и α:

α3 =	α·α2 = 2α – 1,
α4 =	2 – 3α,
α5 =	5α – 3, ...

Вы узнали в коэффициентах последовательность Фибоначчи, начиная с члена F₁ ? По-видимому, и для любого n можно записать формулу

αⁿ = (–1)ⁿ (F_n–1 – F_n α),

где F_n–1 и F_n — члены последовательности Фибоначчи. Докажем это методом математической индукции:

αn+1 = αn ·α	= (–1)n (Fn–1 α – Fn α2 ) = (–1)n (Fn–1 α – Fn (1 – α)) =
= (–1)n (–Fn + (Fn–1 + Fn )α) = (–1)n+1 (Fn – Fn+1 α).

У уравнения α² = 1 – α два корня — положительный α = (√5 – 1)/2 и отрицательный α = –(√5 + 1)/2. Как мы убедились,

	(–1)n α1 n = Fn–1 – Fn α1 ,

	(–1)n α2 n = Fn–1 – Fn α2 .

Решая эту систему относительно F_n , получаем, что

Fn =

1 √5

(

1 + √5 2

)

n

–

(

1 – √5 2

)

n

.

И этот результат довольно неожидан — последовательность целочисленная, а общий её член выражается через квадратные радикалы.

Следующую неожиданность получим, если вычислим

lim n → ∞

Fn Fn+1

=

√5 – 1 2

.

Это знаменитое «золотое сечение» (о нём см., например, «Квант», 1973, №8, с.22 и далее). Прямоугольный предмет с таким отношением сторон наиболее приятен для глаза.

Существует много формул, связывающих между собой члены последовательности Фибоначчи. Вот некоторые из них:

n	n
Fn+2 = 1 +	∑	Fk , F2n =	∑	F2k–1 ,
k=1	k=1

n	2n–1
F2n+1 = 1 +	∑	F2k , F2n–2 = –1 +	∑	(–1)k–1 Fk ,
k=1	k=1

2n–1
F	2 2n	=	∑	Fk Fk+1 , F2n–1 = F	2 n	+ F	--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <-- « 1 2 » К-во Просмотров: 227 Бесплатно скачать Доклад: Филлотаксис и последовательность Фибоначчи >>> Скачать <<< Меню Поиск