Контрольная работа: Алгебра и начало анализа
№8.Опр . Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом (обозначается tg ).
- область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида
;
- множество значений - вся числовая прямая;
- функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;
- функция периодическая с наименьшим положительным периодом
;
- tg(x) = 0 при х =
;
- tg(x) > 0 для всех
;
- tg(x) < 0 для всех
;
- функция возрастает на
.
№9.Опр . Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется котангенсом (обозначается ctg )
- область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида
;
- множество значений - вся числовая прямая;
- функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;
- функция периодическая с наименьшим положительным периодом
;
- ctg(x) = 0 при x =
;
- ctg(x) > 0 для всех
;
- ctg(x) < 0 для всех
;
- функция убывает на
.
Ответ № 10
- Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
- Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а2 - а1 = а3 - а2 = ... = ak - ak-1 = ... . Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d .
- Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn ), достаточно знать ее первый член а1 и разность d .
- Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.
- Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е.
(1)
- Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-1) . (2)
- Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид:
(3)
- Если в формулу (3) подставить вместо аn его выражение по формуле (2), то получим соотношение
- Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an = a2 + an-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Ответ № 11
- Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
- Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2 :b1 = b3 :b2 = ... = bn :bn-1 = bn+1 :bn = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q .
- Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn ), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q .
- Если q > 0 (
), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1 = -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.
- Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (bn ) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е.
(1)
- Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:
(2)
- Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид:
,
(3)
- Если в формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение.
,
(4)
- Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1 bn = b2 bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии при
- Пусть (xn ) - геометрическая прогрессия со знаменателем q , где
и
. Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию
, называется предел суммы n первых ее членов при
.
- Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S . Тогда верна формула
.
№ 12
Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a
- формула для корней уравнения sin(x) = a, где
, имеет вид:
Частные случаи: - sin(x) = 0, x =
- sin(x) = 1, x =
- sin(x) = -1, x =
- формула для корней уравнения sin2 (x) = a, где
, имеет вид: x=
Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a
- Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
- При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.
- Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a (sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y = sin(x).
sin(x) = 0 если х =;
sin(x) = -1, если x =>;
sin(x) > 0, если;
sin(x) < 0, если.
Ответ № 13
Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a
- Формула для корней уравнения cos(x) = a, где
, имеет вид:
.
- Частные случаи:
cos(x) = 1, x =;
cos(x) = 0,;
cos(x) = -1, x = - Формула для корней уравнения cos2 (x) = a, где
, имеет вид:
.
Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a
- Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
- Важным моментом является знание, что:
cos(x) = 0, если;
cos(x) = -1, если x =;
cos(x) = 1, если x =;
cos(x) > 0, если;
cos(x) > 0, если.
№ 14
Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a
- Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид:
.
- Частные случаи:
tg(x) = 0, x =;
tg(x) = 1,;
tg(x) = -1,.
- Формула для корней уравнения tg2 (x) = a, где
, имеет вид:
Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a
- Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).
- Важно знать, что:
tg(x) > 0, если;
tg(x) < 0, если;
Тангенс не существует, если.
№ 15
- Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов
,
,
,
, выражаются через значения sin
, cos
, tg
и ctg
.
- Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:
Функция | Аргумент | |||||||
| | | | | | | | |
sin | cos | cos | sin | -sin | -cos | -cos | -sin | sin |
cos | sin | -sin | -cos | -cos | -sin | sin | cos | cos |
tg | ctg | -ctg | -tg | tg | ctg | -ctg | -tg | tg |
ctg | tg | -tg | -ctg | ctg | tg | -tg | -ctg | ctg |
- Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила:
a) при переходе от функций углов,
к функциям угла
название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;
при переходе от функций углов,
к функциям угла
название функции сохраняют;
б) считаяострым углом (т. е.
), перед функцией угла
ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов
,
,
.
Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:
Любая тригонометрическая функция угла 90°n + по абсолютной величине равна той же функции угла
, если число n - четное, и дополнительной функции, если число n - нечетное. При этом, если функция угла 90°n +
. положительна, когда
- острый угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.
№ 16
- Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:
Рис.1 Рис.2
Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на уголи на угол
(рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов
и
. Пусть координаты точки В равны х1 и y1, координаты точки С равны х2 и y2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы
и
. По определению скалярного произведения векторов:
= х1 х2 + y1 y2 . (1)
Выразим скалярное произведениечерез тригонометрические функции углов
и
. Из определения косинуса и синуса следует, что
х1 = R cos, y1 = R sin
, х2 = R cos
, y2 = R sin
.
Подставив значения х1 , х2 , y1 , y2 в правую часть равенства (1), получим:
= R2 cos
cos
+ R2 sin
sin
= R2 (cos
cos
+ sin
sin
).
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:
=
cos
BOC = R2 cos
BOC.
Угол ВОС между векторамии
может быть равен
-
(рис.1),
- (
-
) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos
BOC = cos (
-
). Поэтому
= R2 cos (
-
).
Т.к.равно также R2 (cos
cos
+ sin
sin
), то
cos(-
) = cos
cos
+ sin
sin
.
cos(+
) = cos(
- (-
)) = cos
cos(-
) + sin
sin(-
) = cos
cos
- sin
sin
.
Значит,
cos(+
) = cos
cos
- sin
sin
.
- Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:
sin(+
) = cos(
/2 - (
+
)) = cos((
/2 -
) -
) = cos(
/2 -
) cos
+ sin(
/2 -
) sin
= sin
cos
+ cos
sin
.
Значит,
sin(+
) = sin
cos
+ cos
sin
.
sin(-
) = sin(
+ (-
)) = sin
cos(-
) + cos
sin(-
) = sin
cos
- cos
sin
.
Значит,
sin(-
) = sin
cos
- cos
sin
.
№ 17
Формулы двойных углов
Формулы сложения позволяют выразить sin 2, cos 2
, tg 2
, ctg 2
через тригонометрические функции угла
.
Положим в формулах
sin( +
) = sin
cos
+ cos
sin
,
cos( +
) = cos
cos
- sin
sin
,
,
.
равным
. Получим тождества:
sin 2 = 2 sin
cos
;
cos 2 = cos2
- sin2
= 1 - sin2
= 2 cos2
- 1;
;
.
№ 18
Формулы половинного аргумента
- Выразив правую часть формулы cos 2
= cos2
- sin2
через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям
cos 2= 1 - sin2
, cos 2
= 2 cos2
- 1.
Если в данных соотношениях положить=
/2, то получим:
cos= 1 - 2 sin2
/2, cos 2
= 2 cos2
/2 - 1. (1)
- Из формул (1) следует, что
(2),
(3).
- Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим
(4).
- В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол
/2.
- Полезно знать следующую формулу:
.
№ 19
Формулы суммы и разности синусов, косинусов
Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin + sin
, положим
= x + y и
= x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin + sin
= sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.
Решив теперь систему уравнений = x + y,
= x - y относительно x и y, получим х =
, y =
.
Следовательно,
sin + sin
= 2 sin
cos
.
Аналогичным образом выводят формулы:
sin -sin
= 2 cos
sin
;
cos + cos
= 2 cos
cos
;
cos + cos