Контрольная работа: Алгебра и начало анализа

№8.Опр . Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом (обозначается tg ).

1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида;
2. множество значений - вся числовая прямая;
3. функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
5. tg(x) = 0 при х = ;
6. tg(x) > 0 для всех ;
7. tg(x) < 0 для всех ;
8. функция возрастает на .

№9.Опр . Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется котангенсом (обозначается ctg )

1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида ;
2. множество значений - вся числовая прямая;
3. функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
5. ctg(x) = 0 при x = ;
6. ctg(x) > 0 для всех ;
7. ctg(x) < 0 для всех ;
8. функция убывает на .

Ответ № 10

1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
2. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а₂ - а₁ = а₃ - а₂ = ... = a_k - a_k-1 = ... . Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d .
3. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (а_n ), достаточно знать ее первый член а₁ и разность d .
4. Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.
5. Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е. (1)
6. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: a_n = a₁ + d(n-1) . (2)
7. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид: (3)
8. Если в формулу (3) подставить вместо а_n его выражение по формуле (2), то получим соотношение
9. Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a₁ + a_n = a₂ + a_n-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Ответ № 11

1. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b₂ :b₁ = b₃ :b₂ = ... = b_n :b_n-1 = b_n+1 :b_n = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q .
3. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (b_n ), достаточно знать ее первый член b₁ и знаменатель q .
4. Если q > 0 (), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b₁ = -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.
5. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (b_n ) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. (1)
6. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: (2)
7. Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид: , (3)
8. Если в формулу (3) подставить вместо b_n его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение. , (4)
9. Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b₁ b_n = b₂ b_n-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при

1. Пусть (x_n ) - геометрическая прогрессия со знаменателем q , где и . Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию , называется предел суммы n первых ее членов при .
2. Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S . Тогда верна формула .

№ 12

Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a

1. формула для корней уравнения sin(x) = a, где , имеет вид:
   Частные случаи:
2. sin(x) = 0, x =
3. sin(x) = 1, x =
4. sin(x) = -1, x =
5. формула для корней уравнения sin² (x) = a, где , имеет вид: x=

Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a

1. Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
2. При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.
3. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a (sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y = sin(x).
   sin(x) = 0 если х = ;
   sin(x) = -1, если x = >;
   sin(x) > 0, если ;
   sin(x) < 0, если .

Ответ № 13

Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a

1. Формула для корней уравнения cos(x) = a, где , имеет вид: .
2. Частные случаи:
   cos(x) = 1, x = ;
   cos(x) = 0, ;
   cos(x) = -1, x =
3. Формула для корней уравнения cos² (x) = a, где , имеет вид: .

Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a

1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
2. Важным моментом является знание, что:
   cos(x) = 0, если ;
   cos(x) = -1, если x = ;
   cos(x) = 1, если x = ;
   cos(x) > 0, если ;
   cos(x) > 0, если .

№ 14

Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a

1. Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: .
2. Частные случаи:
   tg(x) = 0, x = ;
   tg(x) = 1, ;
   tg(x) = -1, .
3. Формула для корней уравнения tg² (x) = a, где , имеет вид:

Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a

1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).
2. Важно знать, что:
   tg(x) > 0, если ;
   tg(x) < 0, если ;
   Тангенс не существует, если .

№ 15

1. Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов , , , , выражаются через значения sin , cos , tg и ctg .
2. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

Функция	Аргумент
sin	cos	cos	sin	-sin	-cos	-cos	-sin	sin
cos	sin	-sin	-cos	-cos	-sin	sin	cos	cos
tg	ctg	-ctg	-tg	tg	ctg	-ctg	-tg	tg
ctg	tg	-tg	-ctg	ctg	tg	-tg	-ctg	ctg

1. Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила:
   a) при переходе от функций углов , к функциям угла название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;
   при переходе от функций углов , к функциям угла название функции сохраняют;
   б) считая острым углом (т. е. ), перед функцией угла ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов , , .

Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:
Любая тригонометрическая функция угла 90°n + по абсолютной величине равна той же функции угла , если число n - четное, и дополнительной функции, если число n - нечетное. При этом, если функция угла 90°n + . положительна, когда - острый угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.

№ 16

1. Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:
   
   Рис.1 Рис.2
   Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол и на угол (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов и . Пусть координаты точки В равны х₁ и y_1, координаты точки С равны х₂ и y_{2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы} и . По определению скалярного произведения векторов:
   = х₁ х_{2 +} y₁ y₂ . (1)
   Выразим скалярное произведение через тригонометрические функции углов и . Из определения косинуса и синуса следует, что
   х₁ = R cos , y₁ = R sin , х₂ = R cos , y₂ = R sin .
   Подставив значения х₁ , х₂ , y₁ , y₂ в правую часть равенства (1), получим:
   = R² cos cos + R² sin sin = R² (cos cos + sin sin).
   С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:
   = cos BOC = R² cos BOC.
   Угол ВОС между векторами и может быть равен - (рис.1), - ( - ) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos BOC = cos ( - ). Поэтому
   = R² cos ( - ).
   Т.к. равно также R² (cos cos + sin sin), то
   cos( - ) = cos cos + sin sin.
   
   cos( + ) = cos( - (-)) = cos cos(-) + sin sin(-) = cos cos - sin sin.
   Значит,
   cos( + ) = cos cos - sin sin.
2. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:
   
   sin( + ) = cos( /2 - ( + )) = cos(( /2 - ) - ) = cos( /2 - ) cos + sin( /2 - ) sin = sin cos + cos sin.
   Значит,
   sin( + ) = sin cos + cos sin.
   
   sin( - ) = sin( + (-)) = sin cos(-) + cos sin(-) = sin cos - cos sin.
   Значит,
   sin( - ) = sin cos - cos sin.

№ 17

Формулы двойных углов

Формулы сложения позволяют выразить sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2 через тригонометрические функции угла .
Положим в формулах
sin( + ) = sin cos + cos sin ,
cos( + ) = cos cos - sin sin ,
,
.
равным . Получим тождества:

sin 2 = 2 sin cos ;
cos 2 = cos² - sin² = 1 - sin² = 2 cos² - 1;
; .

№ 18

Формулы половинного аргумента

1. Выразив правую часть формулы cos 2 = cos² - sin² через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям
   cos 2 = 1 - sin² , cos 2 = 2 cos² - 1.
   Если в данных соотношениях положить = /2, то получим:
   cos = 1 - 2 sin² /2, cos 2 = 2 cos² /2 - 1. (1)
2. Из формул (1) следует, что
   (2), (3).
3. Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим
   (4).
4. В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол /2.
5. Полезно знать следующую формулу:
   .

№ 19

Формулы суммы и разности синусов, косинусов

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin + sin , положим = x + y и = x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin + sin = sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.
Решив теперь систему уравнений = x + y, = x - y относительно x и y, получим х = , y = .
Следовательно,
sin + sin = 2 sin cos .
Аналогичным образом выводят формулы:
sin -sin = 2 cos sin ;
cos + cos = 2 cos cos ;
cos + cos

«

1

2

»

• >>> Скачать <<<