Контрольная работа: Функции индивидуального предпочтения
Замечание . Видно, что последняя функция из примера 2 связана с функцией из примера 1 тем, что после логарифмирования и измерения факторов и предпочтений в логарифмической шкале они совпадают. Действительно,
lnf ( x , y )= lnA+b1 ( lny1 -lnx1 ) +b2 ( lny2 -lnx2 )+… +bm ( lnym -lnxm ),
т.е. логарифм мультипликативной функции предпочтения совпадает с линейной функцией предпочтения, если вместо факторов подвижности подставит их логарифмы.
7. Предельная эффективность факторов
Интенсивности переходов f (x, y) (вероятности при дискретном времени) обычно связаны (пропорциональны) функции предпочтения. Поэтому при всех фиксированных условиях (наборах факторов x и y ) и интенсивности переходов и предпочтения постоянны. Но возникает вопрос, что будет происходить с этими функциями, а, следовательно, с переходами людей при малых изменениях какого-либо одного фактора подвижности, скажем, xs , когда все остальные факторы не изменяются, т.е. при прочих равных условиях.
Математически малые изменения df (x, y)=
dxs . При изменении ys изменение интенсивностей переходов df ( x, y ) =
dys , но теперь можно учесть, что <0, а >0. Отсюда следует, что при увеличении xs , например, реальной оплаты труда, на величину dxs >0 интенсивность переходов уменьшается (dxs >0, а <0), а при ее уменьшении на старом месте – увеличивается (dxs <0, <0, т.е. dxs >0). Аналогично, но с обратным знаком для ys .
Теперь ясно, что кроме знака изменения интенсивности переходов известно и во сколько раз ( или ) отличается изменение функции при малом изменении аргумента (dxs , dys ), что дает основание называть соответствующую производную или предельной эффективностью фактора s, т.е. xs и ys соответственно.
Пример 3. Найдем эффективность действия фактора xs (и ys ) для интенсивности переходов линейного вида, зависящей от трех факторов (s =1,2,3); f ( x, y ) =a+b T (y -x ) = =a+b1 (y1 -x1 )+b2 (y2 -x2 )+b3 (y3 -x3 ). В этом случае =-bs , а =bs , т.е. для любого из трех факторов предельная эффективность его не зависит от значений остальных т.е. факторы увеличивают или уменьшают интенсивности независимо от значений остальных. Последнее обстоятельство сильно упрощает вычисления.
Пример 4. Найдем эластичность интенсивности от фактора xs (ys ) для функции из примера 2. Для этого проще всего воспользоваться уже сделанным логарифмическим преобразованием, из которого следует, что
