Контрольная работа: Коллизии в рассуждениях
Пример. Пусть имеется некоторое, возможно, бесконечное множество положительных целых чисел, в котором соблюдаются следующие соотношения:
N2 Í (N3 Ç) (все четные числа делятся на 3 и не делятся на 5);
N3 Í (все числа, кратные 3, не делятся на 7);
Í N7 (все числа не делящиеся на 5, кратны 7).
Спрашивается, имеются ли в этом множестве четные числа?
Чтобы ответить на вопрос задачи, выполним уже знакомые нам построения. Соотношения включения обозначим, используя стрелки (например, вместо N2 Í (N3 Ç) запишем N2 ® (N3 ,)), и построим граф исходных посылок (рисунок 5), а затем для каждого элементарного суждения построим его контрапозицию (рисунок 6, новые следствия показаны пунктирными дугами).
Рис.5 Рис.6
Выберем минимальный литерал (т.е. тот, в который не входит ни одна дуга). Им оказался литерал N2 (четные числа), т.е. тот, который нам и нужен для ответа на вопрос задачи. Построим из этого литерала возможные пути:
1-й путь: N2 ® N3 ®® N5 ®;
2-й путь: N2 ®® N7 ®®.
В обоих случаях получена коллизия парадокса, из чего следует, что при данных условиях задачи четных чисел в этом множестве не должно быть.
Распознавать коллизию парадокса в E-структурах непосредственно по схеме далеко не всегда удобно, особенно когда в структуре много литералов. Если использовать верхние конусы, то можно сформулировать необходимое и достаточное условие существования этой коллизии. Для этого выполняем следующие действия:
выбрать верхние конусы всех минимальных элементов структуры (верхние конусы минимальных элементов называются максимальными верхними конусами);
в каждом из выбранных конусов проверить наличие или отсутствие пар альтернативных литералов (например, A и ).
использовать следующий критерий распознавания коллизии парадокса: если хотя бы в одном из максимальных верхних конусов встречается пара альтернативных литералов, то в структуре имеется коллизия парадокса, в противном случае коллизия парадокса отсутствует.
Например, в E-структуре из примера существует только один минимальный элемент, следовательно, имеется только один максимальный верхний конус
(N2 , { N2 , N3 , , N5 , , , N7 , }),
в котором содержится 4 пары альтернативных литералов. Это говорит о том, что в структуре имеется коллизия парадокса.
Перейдем к рассмотрению другой коллизии - коллизии цикла. Рассмотрим сначала простой цикл между двумя терминами: A®B®A. Если сопоставить этот цикл с отношением включения между множествами, то окажется, что в данном случае этот цикл означает, что справедливы два отношения включения AÍB и BÍA. А это в свою очередь означает, что наши множества A и B равны друг другу, и соответственно термины, которые обозначают эти множества, имеют одно и то же содержание. Рассмотрим следующий пример.
Пример. Пусть заданы три посылки:
1) Все, что существует, подтверждается экспериментом.
2) Все неизвестное не подтверждается экспериментом.
3) Все известное существует.
Попробуем принять эти три посылки как аксиомы и построим для них соответствующую E-структуру. Обозначим: E - все, что существует, C - все, что подтверждается экспериментом, K - все, что известно. Соответственно обозначает то, что не существует, - то, что не подтверждается экспериментом, - то, что неизвестно. Теперь представим эти посылки в виде формальных суждений:
E®C;
®;
K®E.
Если теперь построить граф этого рассуждения и применить к трем посылкам правило контрапозиции, то на рисунке четко обозначатся два цикла: E®C®K®E и ®®®.