Контрольная работа: Компоненты временных рядов

u_t -трендовая составляющая;

s_t - сезонная компонента;

v_t - циклическая компонента;

е_t - случайная компонента.

Рисунок 1.2. Месячная динамика производства отдельных видов промышленной продукции в натуральном выражении

Рисунок 1.3. Месячная динамика производства электроэнергии

На рисунках 1.2, 1.3 приведены примеры временных рядов, иллюстрирующие присутствие в них указанных компонент. Графики месячных временных рядов производства промышленной продукции наглядно демонстрируют устойчивые сезонные колебания при снижающемся тренде, причем на последнем участке темпы падения производства заметно снижаются.

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, тем более, что современные программные средства предоставляют пользователю большие возможности для этого. Не всегда при этом четко прослеживается присутствие тренда во временном ряду. В этих случаях прежде, чем перейти к определению тенденции и выделению тренда, нужно выяснить, существует ли вообще тенденция в исследуемом процессе.

Основные подходы к решению этой задачи основаны на статистической проверке гипотез. Критерии выявления компонент ряда основаны на проверке гипотезы о случайности ряда.

Рассмотрим наиболее часто используемые на практике критерии проверки "наличия-отсутствия" тренда: критерий серий, основанный на медиане выборки и метод Фостера - Стюарта.

Критерий серий, основанный на медиане выборки, реализуется в виде следующей последовательности шагов:

1) Из исходного ряда y_t длиной n образуется ранжированный (вариационный) ряд y_t , где - наименьшее значение ряда y_t

2) Определяется медиана этого вариационного ряда Me. В случае

нечетного значения n (n=2m+l) Me=, в противном случае Me =

3) Образуется последовательность из плюсов и минусов по следующему правилу:

(1.4.)

Если значение y_t равно медиане, то это значение пропускается.

4) Подсчитывается v(n) -число серий в совокупности , где под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один плюс или один минус тоже будет считаться серией.

Определяется - протяженность самой длинной серии.

5) Проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда (при отсутствии систематической составляющей) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий - слишком маленьким. Поэтому для того, чтобы не была отвергнута гипотеза о случайности исходного ряда (об отсутствии систематической составляющей) должны выполняться следующие неравенства (для 5% уровня значимости)

(1.5.)

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Квадратные скобки в правой части неравенства означают целую часть числа. Напомним, что целая часть числа А - [А] - это целое число, ближайшее к А и не превосходящее его.

Другой способ проверки гипотезы о наличии тенденции процесса основывается на методе Фостера-Стюарта. Этот метод может быть реализован в виде следующей последовательности шагов:

1) Каждый уровень ряда сравнивается со всеми предшествующими, при этом определяются значения вспомогательных характеристик m_t и l_t :

(1.6)

Таким образом, m_t =l, если y_t больше всех предшествующих уровней, а1_t = 1, если y_t меньше всех предшествующих уровней.