Контрольная работа: Логика высказываний
(р ≡ q) ≡ (р → q) Ù (q→р) (10)
р → q ≡`p Ú q (11)
(р ≡ q) ≡ (`p Ú q) Ù (`qÚр) (12)
(р ≡ q) ≡ (p Ù q) Ú (`рÙ`q) (13)
_____
(р → q) ≡ р Ù`q (14)
р Ù1 ≡ р (15)
р Ù0 ≡ 0 (16)
р Ú0 ≡ р (17)
рÚ 1 ≡ 1 (18)
р Ùq ≡`р Ú`q (19)
р Ú q ≡`рÙ`q (20)
Итак, подобно тому, как в алгебре мы имеем возможность преобразовывать, одно выражение в другое, с какой-то точки зрения более простое (скажем, приводить алгебраическое выражение к удобному для логарифмирования виду, заменять таблицу, задающую определитель, числом и т.д.), мы можем преобразовать составные высказывания. Важное значение в алгебре высказываний имеет преобразование любого составного высказывания к конъюнктивной нормальной форме. Эта нормальная форма состоит из конъюнкции дизъюнкций, где каждый дизъюнктивный член является либо элементарным высказыванием, либо его отрицанием.
На основании установленных эквивалентностей вводим следующие правила:
а1) Со знаками Ú и Ù можно оперировать как в алгебре, пользуясь ассоциативным, коммутативным и дистрибутивным законами;
а2) `р можно заменить р;
а3) р Ùq можно заменить выражением`р Ú`q, а р Ú q - выражением`рÙ`q ;
а4) р → q можно заменить выражением `p Ú q, а р ≡ q – выражением (`p Ú q) Ù(`qÚр).
Например, привести к конъюнктивной нормальной форме формулу:
((р Ú q) Ù`q ) Ú (rÙq).
Последовательным применением правила а3) получаем :
((р Ú q) Ù`q ) Ú (rÙq) ≡((р Ú q) Ù`q ) Ù (rÙq) ≡((р Ú q) Ú`q ) Ù (`rÚ`q) ≡
≡ ((`рÙ`q) Ú`q ) Ù (`rÚ`q).
Применяя к последней формуле закон дистрибутивности, получаем формулу:
(`р Ú` q )Ù( qÙ`q) Ù (`rÚ`q).
Наконец, применяя правило а2) получаем конъюнктивную нормальную форму:
(`р Úq )Ù( qÚ`q) Ù (`rÚ`q).
Очевидно, что эта форма определяется не однозначно. Так, используя то, что qÚ`q ≡ 1 и (15), получаем другую конъюнктивную нормальную форму первоначальной формулы: (`pÚq) Ù(`rÚ`q)
Запишем обобщения законов поглощения (7):