Контрольная работа: Математические последовательности Предел функции
Задание 1
Вычислите и
последовательности
.
Решение.
Рассмотрим последовательность .
для любого натурального
Следовательно, множество является ограниченным сверху. Это означает, что последовательность
имеет верхнюю точную грань:
.
Следовательно, множество не является ограниченным снизу. Это означает, что нижняя грань
последовательности
не существует.
Ответ. не существует
Задание 2
Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что .
Доказательство.
Число называется пределом последовательности
, если для любого положительного числа
существует номер
такой, что при
выполняется неравенство
.
Используя определение предела последовательности, докажем, что .
Возьмем любое число .
Если взять , то для всех
будет выполняться неравенство
. Следовательно,
.
Доказано
Задание 3
Пользуясь определением предела функции, докажите, что .
Доказательство
Число называется пределом функции
при
, если для любого числа
существует число
такое, что для всех
, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
.
Используя определение предела функции, докажем, что .
Возьмем любое .
Положим .
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--