2) справедливо соотношение (ЛПР второе решение предпочитает первому),

3) не выполняется ни соотношение , ни соотношение (ЛПР не может отдать предпочтение ни одному из указанных двух решений).

Заметим, что четвертый случай, когда оба участвующих здесь соотношения и выполняются, невозможен благодаря асимметричности отношения предпочтения

В первом из указанных выше случаев, т.е. при выполнении соотношения , говорят, что решение доминирует решение .

Если же реализуется третий случай, то говорят, что решения и не сравнимы по отношению предпочтения.

Аксиома Парето.

Для всех пар допустимых решений , для которых имеет место неравенство , выполняется соотношение

Решение называется оптимальным по Парето (парето-оптимальным), если не существует такого возможного решения , для которого имеет место неравенство . Все парето-оптимальные решения образуют множество Парето, обозначаемое

Парето-оптимальное решение – это такое допустимое решение, которое не может быть улучшено (увеличено) ни по одному из имеющихся критериев без ухудшения (уменьшения) по какому-то хотя бы одному другому критерию.

Иначе говоря, предпочитая одному парето-оптимальному решению другое парето-оптимальное решение, ЛПР(лицо, принимающее решение) вынуждено идти на определенный компромисс, соглашаясь на некоторую потерю хотя бы по одному критерию (получая, разумеется, определенный выигрыш, по крайней мере, по какому-то другому критерию). По этой причине множество Парето нередко называют множеством компромиссов.

Понятие оптимальности по Парето играет важную роль в математической экономике. Именно в этой области часто вместо парето-оптимальности используют наименования эффективное решение и множество эффективных решений. Тем самым, парето-оптимальность и эффективность в математической экономике нередко оказываются синонимами.

3. Реализация программного средства.

Среда разработки: VisualStudio 2010

Язык программирования: C#

3.1 Проектирование

При проектировании программного средства будем использовать объектно-ориентированный подход.

Список классов с кратким описанием:

1) MainView.cs – это главное окно, служит для ввода данных и запуска работы алгоритма поиска парето-оптимальных решений.

2) SolutionsView.cs – это окно, которое содержит найденные парето-оптимальные решения, представленные в табличной форме

3) GraphView.cs– окно, на котором будет отображаться графическое представление множества Парето для двухкритериальных задач

4) Pareto.cs – это основной класс. Содержит 2 алгоритма поиска множества Парето.

5) Graph.cs – класс, содержащий методы для построения графиков (в данном случае будем использовать стороннюю библиотеку ZedGgraph.dll)

6) File.cs –методы для сохранения и загрузки данных в/из файл(а).

3.2 Алгоритм поиска парето-оптимальных решений

Шаг 1. Положить P(Y) =Y , i =1, j = 2 . Тем самым образуется так называемое текущее множество парето-оптимальных векторов, которое в начале работы алгоритма совпадает с множеством Y , а в конце составит искомое множество парето-оптимальных векторов. Алгоритм устроен таким образом, что искомое множество парето-оптимальных векторов получается из Y последовательным удалением заведомо неоптимальных векторов.

Шаг 2. Проверить выполнение неравенства . Если оно оказалось истинным, то перейти к Шагу 3. В противном случае перейти к Шагу 5.

Шаг 3. Удалить из текущего множества векторов P(Y) вектор , так как он не является парето-оптимальным. Затем перейти к Шагу 4.

Шаг 4. Проверить выполнение неравенства j < N . Если оно имеет место, то положить j = j +1 и вернуться к Шагу 2. В противном случае – перейти к Шагу 7.

Шаг 5. Проверить справедливость неравенства . В том случае, когда оно является истинным, перейти к Шагу 6. В противном случае – вернуться к Шагу 4.

Шаг 6. Удалить из текущего множества векторов P(Y) вектор и перейти к Шагу 7.

Шаг 7. Проверить выполнение неравенства i < N -1. В случае истинности этого неравенства следует последовательно положить i = i +1 , а затем j = i +1. После этого необходимо вернуться к Шагу 2. В противном случае (т.е. когда) вычисления закончить. К этому моменту множество парето-оптимальных векторов построено полностью.

Вначале реализуем вспомогательные методы: