Оглавление. 1

1. Постановка задачи. 2

2. Краткие теоретические сведения. 3

3. Реализация программного средства.7

3.1 Проектирование. 7

3.2 Алгоритм поиска парето-оптимальных решений. 7

3.3 Листингпрограммногокода. 10

4. Пример работы программы.. 24

4.1 Многокритериальная задача. 24

4.2 Двухкритериальная задача. 25

3. Аналитическое задание критериев. 27

Выводы.. 28

Используемая литература. 29

Используемые программные средства. 29

1. Постановка задачи

математическая модель парето оптимальность

Необходимо разработать программное средство для поиска парето-оптимальных решений для следующих видов задач:

1) многокритериальная задача

входные данные: количество критериев и решений; весовые значения, заданные напрямую, либо в параметрическом виде.

выходные данные: решения, входящие в множество Парето; номера парето-оптимальных решений из множества исходных решений

2) двухкритериальная задача

входные данные: количество критериев и решений; весовые значения, заданные напрямую, либо в параметрическом виде.

выходные данные: решения, входящие в множество Парето; номера парето-оптимальных решений из множества исходных решений; графическое представление парето-оптимальных решений.

2. Краткие теоретические сведения

Пусть задан набор числовых функций , определенных на множестве возможных решений X. В зависимости от содержания задачи выбора эти функции именуют критериями оптимальности, критериями эффективности или целевыми функциями.

Указанные выше числовые функции образуют векторный критерий , который принимает значения в пространстве m-мерных векторов . Это пространство называют критериальным пространством или пространством оценок, а всякое значение именуют векторной оценкой возможного решения x. Все возможные векторные оценки образуют множество возможных оценок (возможных или допустимых векторов)

Как правило, между множествами возможных решений X и соответствующим множеством векторов Y можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому возможному решению поставить в соответствие определенный возможный вектор, и обратно – каждому возможному вектору сопоставить определенное возможное решение. В таких случаях выбор во множестве решений с математической точки зрения равносилен выбору во множестве векторов и все определения и результаты можно формулировать как в терминах решений, так и в терминах векторов, причем при желании всегда можно без труда осуществить переход от одной формы изложения к другой.

Задачу выбора, которая включает множество допустимых решений X и векторный критерий f, обычно называют многокритериальной задачей или задачей многокритериальной оптимизации.

Необходимо отметить, что формирование математической модели принятия решений (т.е. построение множества X и векторного критерия f ) нередко представляет собой сложный процесс, в котором тесно взаимодействуют специалисты двух сторон. А именно, представители конкретной области знаний, к которой относится исследуемая проблема, и специалисты по принятию решений (математики). С одной стороны, следует учесть все важнейшие черты и детали реальной задачи, а с другой, – построенная модель не должна оказаться чрезмерно сложной с тем, чтобы для ее исследования и решения можно было успешно применить разработанный к настоящему времени соответствующий математический аппарат. Именно поэтому этап построения математической модели в значительной степени зависит от опыта, интуиции и искусства исследователей обеих сторон. Его невозможно отождествить с простым формальным применением уже известных, хорошо описанных алгоритмов.

Здесь следует еще добавить, что любая задача выбора (в том числе и многокритериальная) тесно связана с конкретным ЛПР (лицо, принимающее решение). Уже на стадии формирования математической модели при построении множества возможных решений и векторного критерия дело не обходится без советов, рекомендаций и указаний ЛПР, тем более что векторный критерий как раз и служит. Принятие решения при многих критериях для выражения целей ЛПР. При этом ясно, что построить модель в точности соответствующую всем реальным обстоятельствам невозможно. Модель всегда является упрощением действительности. Важно добиться, чтобы она содержала те черты и детали, которые в наибольшей степени влияют на окончательный выбор наилучшего решения.

Рассмотрим два произвольных возможных решения и . Для них имеет место один и только один из следующих трех случаев:

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--