Контрольная работа: Модификация модели М. Калецкого

В=а1-βк+ε. (9)

Таким образом, уравнения (5), (7), (9) определяют функциональную взаимосвязь между переменными K(t), B(t), I(t). В данном случае наиболее просто вывести интегро-дифференциальное уравнение для динамики капитала:

(10)

Интегро-дифференциальное уравнение (10) вместе с начальным условием К(t=0)=К0 целиком описывает эволюцию капитала в данной экономической системе. Сложность исследования поведенческих свойств уравнения (10) во многом определяется явным видом ядра — функции φ (t, τ).

Рассмотрим случай, когда оно является вырожденным, то есть

φ (t, τ) = ξ(t)η(τ).

При такой структуре функции φ (t, τ) базовое интегро-дифференциальное уравнение (10) путем дифференцирования по времени с помощью несложных преобразований получает вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Для простоты примем, что G — постоянное число, тогда величина А= также является постоянной.

Целесообразно ввести в рассмотрение переменную x(t) = K(t) — А, имеющую смысл отклонения величины капитала от некоего характерного постоянного значения А. В такой ситуации уравнение (10) примет следующую форму:

=dτ (11)

Отдифференцировав (11) по независимой переменной t и выполнив необходимые тождественные преобразования, получим искомое обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка по переменной X(t):

(12)

где

ρ(t) =

q(t)=βξ(t)η(t)

с ненулевыми начальными условиями;

X(0)=K0 – A, (13)

Дифференциальное уравнение (12) занимает особое место в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, и совершенно невозможно дать исчерпывающий обзор свойств решения этого уравнения.

По поводу дифференциального уравнения (12) известный американский математик Р. Беллман утверждал, что значение уравнений указанного вида в физике трудно переоценить. Существует много исследований, связанных с данным уравнением. С математической точки зрения оно представляет собой постоянный вызов искусству аналитика: надо получать всевозможные свойства решений этого уравнения, не пользуясь такой роскошью, как явное представление последних через коэффициенты р и q.

Из-за многообразия возможных случаев и вытекающей отсюда трудности объединения их в общей теории мы ограничимся рассмотрением некоторых частных примеров, которые, кроме того что представляют экономико-математический интерес, иллюстрируют применение разработанных основных методов к исследованию задач экономической динамики.

2. Пример 1

При реализации планируемых инвестиционных проектов (формула (5)) с учетом распределенных запаздываний (взаимосвязь капитала, решений об инвестициях и фактических капиталовложений) используется функция φ1(t,τ)=be(τ-t), где b>0 есть некоторая постоянная времени. С экономической точки зрения такой выбор ядра интегрального преобразования (5) означает, что весовой коэффициент решения об инвестировании в момент времени τ(0<τ<t) возрастает с приближением к моменту времени t (когда инвестиции реализуются) и убывает, когда величина τ находится ближе к нулю.

Данный подход отражает реальное поведение инвесторов, когда принимаются решения об инвестировании.

Поскольку

φ1(t,τ)= ξ1(t)η1(τ),

то для определенности выберем

ξ1(t)= е-ы

η1(τ)= bеы.

Далее, после элементарных преобразований выражение (12) трансформируется к виду дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

(14)