Контрольная работа: Построение годографов Михайлова при помощи пакета MATHCAD

Имея данные в виде (7), перейдём непосредственно к использованию математического пакета «MathCad».

Для этого в верхнем меню выберем «Новый…» – «Пустой документ», в котором будем формировать программу построения годографа Михайлова, используя нижеприведенный алгоритм.

Шаг 1. Задать разрешение годографа диапазоном значений индекса i. Например:

(8)

Шаг 2. Определить исследуемый диапазон и шаг частоты , используя значения индекса i (обычно, для практических расчётов, максимальная величина частоты не превышает значения 1000, в нашем же примере – достаточно принять с частотным шагом 0,1):

(9)

Шаг 3. Полученные вещественную и мнимую части характеристического уравнения, зададим численными значениями (в данном случае используя (7)) в виде:

(10)

и

Рисунок 3 – Массивы значений , и , рассчитанные в «MathCad»

(11)

Шаг 4. В результате вычислений (9), (10) и (11), получаются массивы значений частоты , а также вещественной и мнимой частей (рис. 3).

Шаг 5. Далее имея рассчитанные массивы значений и , переходим к построению годографа Михайлова, используя встроенную функцию «MathCad» – «Инструменты графиков», выбрать «Декартов график». Здесь необходимо определить идентификаторы осей (в данном случае ось абсцисс соответствует вещественной части , а ординат – мнимой части ) и параметры графика в подменю «Формат…». В результате получим график комплексной частотной функции, приведенный на рис. 4.

Рисунок 4 – Годограф Михайлова для САУ электроприводом МПР

Используя функцию «Трассировка…» (пунктирные линии на рис. 4), можно определить, в соответствующем трассировке окне, точные значения годографа в любой точке рассчитанных массивов.

Таким образом, по рассчитанным данным, построенный годограф Михайлова, начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно три квадранта, что соответствует порядку характеристического уравнения. Следовательно, данная САУ электроприводом МПР – устойчива.

В соответствии с изложенным алгоритмом, рассмотрим ещё один пример расчёта критерия устойчивости Михайлова и построения комплексной частотной функции.

Пример 2. На современных автомобильных заводах широко применяются большие сварочные роботы (рис. 5). Наконечник сварочного узла (НСУ) подводится к различным местам кузова автомобиля, быстро и точно совершает необходимые действия. Требуется определить устойчивость по критерию Михайлова САУ позиционированием НСУ, структурная схема которой изображена на рис. 6.

Характеристическое уравнение данной САУ будет иметь вид [1]:

(12)

где K – варьируемый коэффициент усиления системы, a – определённая положительная константа.

Подставим в (12) численные значения: K = 40; a = 0,525.

Имеем:

(13)

Далее путём замены s на , получим функцию Михайлова:

(14)

Перед тем, как выделить вещественную и мнимую части, запишем (1) в несколько усовершенствованном виде, с целью универсального использования для различных порядков n: