Контрольная работа: Пределы Сравнение бесконечно малых величин

Определение 4.5 . Функции и называются несравнимыми бесконечно малыми величинами, если не существует и не равен .

Определение 4.6 . Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными, если .

Очевидно, что это частный случай бесконечно малых величин одного порядка малости. Эквивалентные величины обозначаются следующим образом: .

Понятие эквивалентности имеет практическое приложение. Если, то это значит, что при достаточном приближении к на основании теоремы 9.4.1 можно написать: . Иначе говоря, или .

Полученный результат позволяет следствия первого и второго замечательных пределов представить следующим образом:

;

;

;

;

;

при .

Данный факт значительно облегчает вычисление пределов, связанных с первым и вторым замечательными пределами. Докажем объясняющую это теорему.

Теорема 4.1 . Предел отношения двух бесконечно малых величин равен пределу отношения эквивалентных им величин.

Доказательство. Пусть даны две бесконечно малые величины и при , причем и . Рассмотрим

,

что и требовалось доказать.

Следовательно, при вычислении пределов, используя замены сомножителей на эквивалентные им более простые величины, можно значительно упрощать выражения.

Рассмотрим теперь теорему, дающую достаточно простой признак эквивалентности бесконечно малых величин.

Теорема 4.4. Две бесконечно малые величины и при эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность есть бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем и .

Доказательство. Обозначим .

Необходимость. Дано, что . Рассмотрим

,

то есть . Аналогично доказывается, что .

Достаточность. Дано, что и . Рассмотрим

,

то есть , что и требовалось доказать.

Рассмотрим еще одну теорему, облегчающую процесс вычисления пределов.

Теорема 4.3 . Сумма конечного числа бесконечно малых величин разных порядков малости эквивалентна слагаемому с самым низким порядком малости.