Контрольная работа: Представление информации в микропроцессорных средствах. Системы счисления
N(q) max = qk - 1. (1.2)
Если же задано максимальное абсолютное значение числа, то длина разрядной сетки
K = log q (N(q)max = 1). (1. 3)
Обычно длина обрабатываемых чисел в ЦВМ ограничена значениями: 1 байт (8 разрядов), 2 байта (16 разрядов), а также 4 и 8 байт.
Преобразования чисел с различными основаниями. Для перевода целых чисел или целых частей неправильных дробей из системы счисления с основанием q1 в новую систему счисления с основанием q2 используется метод, базирующийся на делении переводимого числа на основание новой системы счисления. В соответствии с (1.1) целое число N(q1) в системе с основанием q2 записывается в виде:
N(q2 ) = bn-1 q2 n-1 + bn-2 q2 n-2 + …+ b1 q2 1 + b0 q2 0 . (1. 4)
Представляя (1.4) по схеме Горнера, получим:
N(q2 ) =(…((( bn-1 q2 + bn-2 )q2 + bn-3 ) q2 …+ b1 ) q2 + b0 ). (1. 5)
Запись числа N(q2 ) в виде (1.5) раскрывает сущность используемого метода. Действительно, если разделить правую часть (1.5) на величину основания q2 , то получим целую часть (…( bn-1 q2 + bn-2 )q2 +… b1 ) и остаток b0 . Разделив целую часть на q2 , найдем второй остаток b1 .
Повторяя процесс деления n раз, находим последнее частное bn-1, которое в соответствии с (1.5) является старшей цифрой n разрядного числа, представленного в системе с основанием q1. Перевод чисел арифметическими действиями должен производиться по правилу системы счисления с основанием q1 .
Пример 1.1 Перевести десятичное число N=134 в двоичную систему счисления (q2 =2)
Ход решения приведен в табл. 1. 2.
Таблица 1. 2 – Перевод десятичного числа
| Шаги | Операция деления | Частное | Остаток (цифра) | Разряд | Примечание |
| 1 | 134:2 | 67 | 0 | b0 | Младший разряд |
| 2 | 67:2 | 33 | 1 | b1 | |
| 3 | 33:2 | 16 | 1 | b2 | |
| 4 | 16:2 | 8 | 0 | b3 | |
| 5 | 8:2 | 4 | 0 | b4 | |
| 6 | 4:2 | 2 | 0 | b5 | |
| 7 | 2:2 | 1 | 0 | b6 | |
| 8 | 1:2 | 0 | 1 | b7 | Старший разряд |
Ответ: N =b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0 = 100001101.
При переводе правильных дробей из системы счисления с основанием q1 в систему счисления с основанием q2 используется метод, базирующийся на умножении переводимой правильной дроби на основание q2 новой системы счисления. Правильную дробь N(q1 ) в системе с основанием q2 можно представить следующим выражением:
N(q2 ) = b-1 q2 -1 + b-2 q2 -2 + …+ b -m q2 -m . (1.6)
По схеме Горнера (1.6) можно представить в виде:
N(q2 ) = q2 -1 (b-1 + q2 -1 (b-2 + …+ q2 -1 (b -(m-1) +q2 -1 b -m )…)). (1.7)
Если правую часть выражения (1.7) умножить на q2 , то можно найти неправильную дробь, в целой части которой будет число b-1 . Оставшуюся дробную часть следует далее умножить вновь на q1. В полученной дроби целая часть представит собой b-2 и т.д. Таким образом, m – кратное умножение позволяет найти все m цифр дробной части числа в новой системе счисления. Все действия выполняются по правилам q1 -арифметики. В результате описанных операций в целой части получающихся дробей будут получены эквиваленты цифр в новой системе счисления.
Пример 1.2. Привести десятичную дробь N =0.34375 в двоичную систему счисления (q=2).
Операции перевода приведены в табл. 1.3.
Таблица 1.3 – Перевод дробного числа
| Шаги | Операция умножения | Произведение | Целая часть (цифра) | Разряд | Примечание |
| 1 | 2*0.34375 | 0.6875 | 0 | b-1 | Старший разряд |
| 2 | 2*0.6875 | 1.375 | 1 | b-2 | |
| 3 | 2*0.375 | 0.75 | 0 | b-3 | |
| 4 | 2*0.75 | 1.5 | 1 | b-4 | |
| 5 | 2*0.5 | 1.0 | 1 | b-5 | Младший разряд |
Ответ: N(2) =0. b-1 b-2 b-3 b-4 b-5 =0. 01011.
Переводя правильные дроби из одной системы счисления в другую, можно получить дробь в виде бесконечного или расходящегося ряда. В этом случае рекомендуется процесс перевода заканчивать, если появится дробная часть, имеющая во всех разделах нули, или будет достигнута заданная точность перевода (получено требуемое число разрядов результата).
Естественно, что при этом возникает погрешность перевода чисел. В ЭВМ точность перевода обычно ограничивается длиной разрядной сетки, отведенной для представления чисел.
Для удобства преобразования двоичных чисел в десятичные приведем значения веса некоторых разрядов (позиций) двоичной системы счисления в пределах b15 ... b-6 (см. табл. 1.4).
Таблица 1.4 – Веса разрядов двоичного числа
| 215 | 214 | 213 | 212 | 211 | 210 | 29 | 28 | 27 | 26 | 25 |
| 32768 | 16384 | 8192 | 4096 | 2048 | 1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 |
| 24 | 23 | 22 | 21 | 20 | 2-1 | 2-2 | 2-3 | 2-4 | 2-5 | 2-6 |
| 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 | 0.125 | 0.0625 | 0.03125 | 0.015625 |
Пример 1.3 Перевести двоичное число N(2) =1101. 0101 в десятичное
Как и ранее, ход решения отобразим с помощью табл. 1. 5.