Формула Виллиса читается так: передаточное отношение от колеса с номером К к водилу Н при неподвижном колесе с номером L равно единице минус передаточное отношение от колеса с номером К к открепленному колесу с номером L при закрепленном водиле Н. Заметим, что планетарный механизм с закрепленным (условно) водилом Н превращается в многозвенный механизм с неподвижными осями колес. Обычно закрепленное звено обозначается в выражении передаточного отношения верхним индексом в скобках. Пусть у редуктора Давида (тип В) ведущим является колесо 1, неподвижным колесо 3, тогда:

Для всех типов механизмов изображенных на рисунке, выражения передаточных отношений могут быть сведены в таблицу 1.

Во многих планетарных механизмах ведущим может быть водило Н. Тогда передаточное отношение определяется, как обратное выражению :

Формулу Виллиса можно обобщить на дифференциал с любым числом колес до k:

Схема зубчатого дифференциального механизма с цилиндрическими колесами.

Трение в винтовой паре. Трение в цапфах и пятах

При рассмотрении трения в винтовой кинематической паре обычно делают целый ряд допущений. Во-первых, так как закон распределения давлений по винтовой резьбе неизвестен, то условно считают, что сила давления гайки на винт или, наоборот, винта на гайку приложена по средней линии резьбы. Средняя линия резьбы расположена на расстоянии r от оси винта. Во-вторых, предполагается, что действие сил в винтовой паре может быть сведено к действию сил на ползун, находящийся на наклонной плоскости. Развертывая среднюю линию винтовой резьбы на плоскость, сводят пространственную задачу к плоской.

Тогда сила трения:

f = tgφ - коэффициент трения,

β - угол подъема винтовой резьбы,

F - сила, необходимая для равномерного перемещения гайки.

Этим соотношением можно пользоваться при определении сил трения в винтовых парах с прямоугольной резьбой. При треугольной резьбе весьма приближенно считают, что движение гайки аналогично движению клинового ползуна по желобу, у которого угол между вертикалью и стенками желоба равен 90°-α, где α - угол подъема резьбы. Сила трения:

Так как коэффициент трения f’ больше коэффициента трения f, то трение в винтовой паре с треугольной резьбой больше, чем в винтовой паре с резьбой прямоугольной.

При рассмотрении трения в цапфах предполагают, что вал, располагающийся в подшипнике, находится под действием радиальной силы F’ и внешнего момента М и вращается с постоянной угловой скоростью ω. Между валом и подшипником имеется радиальный зазор. Тогда при вращении вала, при наличии трения между валом и подшипником его цапфа будет как бы "взбегать" на подшипник. Предположим, что вследствие "взбегания" цапфы на подшипник касание элементов кинематической пары оказывается в точке, где реакция F’’ параллельна силе F’. На основании ранее установленных положений полная реакция F’’ должна быть отклонена от нормали на угол трения φ, и величина силы трения F_Т получается равной:

,

так как при равновесии цапфы F’’= F’.

Момент М, приложенный к цапфе, уравновешивается моментом трения М_Т , равным:

М_Т = Fr = fF’rcosφ = F’rsinφ = F’ρ

Если из центра вала О описать радиусом ρ окружность, то полная реакция F’’ будет направлена по касательной к этой окружности. Круг радиуса ρ называется кругом трения. Так как углы трения малы, то можно считать:

sinφ ≈ tgφ,

ρ ≈ rf.

Момент трения: