Курсовая работа: Аксиоматический метод

Приведём доказательства двух теорем, непосредственно вытекающих из этих аксиом.

Теорема 1. ( х) (х'  х)

Доказательство: Рассмотрим множество. М = {х  N: х'  х }. Покажем, используя аксиому индукции (Р4), что М = N.

А) 1М, так как 1' 1 по аксиоме Р1.

Б) Пусть хМ, т.е. х'  х. Тогда, по аксиоме Р3, (х') '  х'. Следовательно, по определению, х' М.

Условия аксиомы Р4 выполнены. Тогда, по аксиоме Р4, М = N. Это и означает, что ( х) (х'  х).

Пример 4. Аксиоматическое построение канторовской («наивной») теории множеств на основе нескольких систем аксиом. Всего рассмотрим три системы аксиом.

Первоначальными понятиями теории Т, являются бинарные операции ,  (пересечение и объединение), унарная операция ' (дополнение), нульарные операции 0 и 1, фиксирующие два различных элемента – нулевой и единичный. Система аксиом 1 этой теории симметрична относительно операций , , 0, 1.

(А1) х  у = у  х.

(А2) х  у = у  х.

(А3) х  (у  z) = (х  у)  (х  z).

(А4) х  (у  z) = (х  у)  (х  z).

(А5) х  1 = х.

(А6) х  0 = х.

(А7) х  х' = 0.

(А8) х  х' = 1.

Первоначальными понятиями второй теории Т2 являются бинарная операция  и унарная операция '. Система аксиом 2 этой теории, наоборот, ассиметрична, «смещена» в сторону операции .

(В1) х  у = у  х.

(В2) (х  у)  z = х  (у  z).

(В3) х  у' = z  z'  х  у = х.

(В4) х  у = х  х  у' = z  z'.

Наконец, в третий теории Т3 , в которой первоначальными понятиями являются бинарное отношение С, бинарные операции  и , унарная операция ' и нульарные операции 0 и 1, система аксиом 3 следующая:

(С1) х  х.

(С2) х  у ^ у  z = х  z.

(С3) х  у  z  х  z ^ у  z.

(С4) z  х  у  z  х ^ z  у.

(С5) х  (у  z)  (х  у)  (х  z).

(С6) х  1.

(С7) 0  х.