Курсовая работа: Алгоритмы поиска остовного дерева Прима и Крускала

Рис. 2. Два изображения одного и того же разреза графа с Рис 1.

(а) Вершины множества S изображены чёрными, его дополнения V\S — белым. Рёбра, пересекающие разрез, соединяют белые вершины с черными. Единственное лёгкое ребро, пересекающее разрез — ребро (d, с). Множество А состоит из серых ребер. Разрез (s, V \S) согласован с А (ни одно ребро из А не пересекает разрез).

(Ь) Вершины множества S изображены слева, вершины V \ S — справа. Ребро пересекает разрез, если оно пересекает вертикальную прямую.

По определению безопасного ребра свойство "А является подмножеством некоторого минимального остова" (для пустого множества это свойство, очевидно, выполнено) остаётся истинным для любого числа итераций цикла, так что в строке 5 алгоритм выдаёт минимальный остов. Конечно, главный вопрос в том, как искать безопасное ребро в строке 3. Такое ребро существует (если А является подмножеством минимального остова, то любое ребро этого остова, не входящее в А, является безопасным). Заметим, что множество А не может содержать циклов (поскольку является частью минимального остова). Поэтому добавляемое в строке 4 ребро соединяет различные компоненты графа G_a = (V,A), и с каждой итерацией цикла число компонент уменьшается на 1. Вначале каждая точка представляет собой отдельную компоненту; в конце весь остов — одна компонента, так что цикл повторяется |V| — 1 раз.

Теоретическая часть

Алгоритм Крускала

В любой момент работы алгоритма Крускала множество А выбранных рёбер (часть будущего остова) не содержит циклов. Оно соединяет вершины графа в несколько связных компонент, каждая из которых является деревом. Среди всех рёбер, соединяющих вершины из разных компонент, берётся ребро наименьшего веса. Надо проверить, что оно является безопасным.

Пусть (u, v) — такое ребро, соединяющее вершины из компонент С₁ и C₂ - Это ребро является лёгким ребром для разреза (С₁ , V\C₁ ).

Реализация алгоритма Крускала использует структуры данных для непересекающихся множеств. Элементами множеств являются вершины графа. Напомним, что Find-Set(u) возвращает представителя множества, содержащего элемент u. Две вершины uи vпринадлежат одному множеству (компоненте), если Find-Set(u) = Find-Set(v). Объединение деревьев выполняется процедурой Union. (Строго говоря, процедурам Find-Set и Union должны передаваться указатели на uи v)

MST-Kruskal(G,w)

1 A

2 for каждой вершины vV[G]

3 doMake-Set(v)

4 упорядочить рёбра Е по весам

5 for(u,v)E (в порядке возрастания веса)

6do ifFind-Set(u) Find-Set(v)

7then A := A{(u,v)}

8Union(u,v)

9 returnA

Сначала (строки 1-3) множество А пусто, и есть |V| деревьев, каждое из которых содержит по одной вершине. В строке 4 рёбра из Е упорядочиваются по неубыванию веса. В цикле (строки 5-8) мы проверяем, лежат ли концы ребра в одном дереве. Если да, то ребро нельзя добавить к лесу (не создавая цикла), и оно отбрасывается. Если нет, то ребро добавляется к А (строка 7), и два соединённых им дерева объединяются в одно (строка 8).

Подсчитаем время работы алгоритма Крускала. Будем считать, что для хранения непересекающихся множеств используется метод с объединением по рангу и сжатием путей — самый быстрый из известных. Инициализация занимает время O(V), упорядочение рёбер в строке 4 — O(ElogE). Далее производится O(Е) операций, в совокупности занимающих время О(Е(Е, V)). (основное время уходит на сортировку).

Алгоритм Прима

Как и алгоритм Крускала, алгоритм Прима следует общей схеме алгоритма построения минимального остова. В этом алгоритме растущая часть остова представляет собой дерево (множество рёбер которого есть А). Формирование дерева начинается с произвольной корневой вершины r. На каждом шаге добавляется ребро наименьшего веса среди рёбер соединяющих вершины этого дерева с вершинами не из дерева. По следствию такие рёбра являются безопасными для А, так что в результате получается минимальный остов.

При реализации важно быстро выбирать лёгкое ребро. Алгоритм получает на вход связный граф Gи корень r минимального покрывающего дерева. В ходе алгоритма все вершины, ещё не попавшие в дерево, хранятся в очереди с приоритетами. Приоритет вершины vопределяется значением key[u], которое равно минимальному весу рёбер, соединяющих vс вершинами дерева А. (Если таких рёбер нет, полагаем key[V] = ). Поле [v] для вершин дерева указывает на родителя, а для вершины vQуказывает на вершину дерева, в которую ведёт ребро веса key[v] (одно из таких рёбер, если их несколько). Мы не храним множество А вершин строимого дерева явно; его можно восстановить как

A = {(v,[v]):vV\{r} \Q}.

В конец работы алгоритма очередь Qпуста, и множество

A = {(v,[v]):vV\{r}}.

есть множество ребер покрывающего дерева.