Математика / Курсовая работа: Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

Курсовая работа: Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

Решение системы линейных уравнений сводиться к отысканию значений элементов вектора-столбца (х_i ), называемых корнями системы. Чтобы эта система имела единственное решение, входящее в нее n уравнение должно быть линейно независимым. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя системы, т.е. Δ=detA≠0.

Алгоритм решения системы линейных уравнений подразделяется на прямые и итерационные. На практике никакой метод не может быть бесконечным. Для получения точного решения итерационные методы требуют бесконечного числа арифметических операций. практически это число приходиться брать конечным и поэтому решение в принципе имеет некоторую ошибку, даже если пренебречь ошибками округлений, сопровождающими большинство вычислений. Что же касается прямых методов, то они даже при конечном числе операций могут в принципе дать точное решение, если оно существует.

Прямые и конечные методы позволяют найти решение системы уравнений за конечное число шагов. Это решение будет точным, если все промежутки вычисления проводятся с ограниченной точностью.

2.7 Методика вычисления обратной матрицы

Один из методов решения системы линейных уравнений (4), записываем в матричной форме А·Х=В, связан с использованием обратной матрицы А^-1 . В этом случае решение системы уравнений получается в виде

Х=А^-1 ·В,

где А^-1 –матрица, определяемая следующим образом.

Пусть А –квадратная матрица размером n х n с ненулевым определителем detA≠0. Тогда существует обратная матрица R=A^-1 , определяемая условием A·R=E,

где Е –единичная матрица, все элементы главной диагонали которой равны I, а элементы вне этой диагонали -0, Е=[E₁ ,..., E_n ], где Е_i –вектор-столбец. Матрица К –квадратная матрица размером n х n.

где Rj –вектор-столбец.

Рассмотрим ее первый столбец R=( r₁₁ , r₂₁ ,…, r_n ₁ )^T , где Т –означает транспонирование. Нетрудно проверить, что произведение A·R равно первому столбцу E₁ =(1, 0, …, 0)^Т единичной матрицы Е, т.е. вектор R₁ можно рассмотреть как решение системы линейных уравнений A·R₁ =E_1. Аналогично m –й столбец матрицы R , Rm, 1≤ m ≤ n, представляет собой решение уравнения A·Rm=Em, где Em=(0, …, 1, 0)^T m –й столбец единичной матрицы Е.

Таким образом, обратная матрица R представляет собой набор из решений n систем линейных уравнений

A·Rm=Em , 1≤ m ≤ n.

Для решения этих систем можно применять любые методы, разработанные для решения алгебраических уравнений. Однако метод Гаусса дает возможность решать все эти n систем одновременно, а независимо друг от друга. Действительно, все эти системы уравнений отличаются только правой частью, а все преобразования, которые проводятся в процессе прямого хода метода Гаусса, полностью определяются элементами матрицы коэффициентов (матрицы А). Следовательно, в схемах алгоритмов изменению подлежат только блоки, связанные с преобразованием вектора В. В нашем случае одновременно будут преобразовываться n векторов Em, 1≤ m ≤ n. Результатом решения также будет не один вектор, а n векторов Rm, 1≤ m ≤ n.

3. Ручной счет

3.1 Исходные данные